Một bài toán hình trong đề thi vào lớp 6 trường chuyên rất hay nhưng cũng có phần phức tạp. Để giải được, các em cần nắm chắc kiến thức về diện tích tam giác, diện tích hình thang và có sự quan sát tinh tế.

Bài toán:

Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB = 5cm, CD =3cm. Các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AD, BC sao cho AD = 4 MA, BC= 4NB. Chia ABCD thành hai hình thang ABNM, MNCD. Biết diện tích hình thang ABCD bằng 16cm².

a) Tính chiều cao hình thang ABCD.

b) Tính độ dài đoạn MN.

=> Hướng dẫn:

a) Vận dụng quy tắc tính diện tích hình thang:

S = (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao : 2 

=> chiều cao = S x 2 : ( đáy lớn + đáy bé)

b) Nối A với C; B với D; D với N và A với N

Dựa vào tỉ lệ cạnh đáy của 2 tam giác có cùng chiều cao ta tính được diện tích các tam giác DCA và DCB; DNB; DCN; DBA và CAB; ANB; từ đó tìm được diện tích tam giác DNA; MNA và diện tích hình thang MNBA (hoặc DCNM)

Từ đó tìm được đáy bé MN từ công thức tính diện tích hình thang:

=> đáy bé = (S x 2 : chiều cao) - đáy lớn

Giải

a) Chiều cao hình thang ABCD là:

16 x 2 : (5 + 3) = 4 (cm)

b) Ta có: S DCA = S DCB (2 tam giác chung đáy DC và chung chiều cao là chiều cao hình thang ABCD)

 => S DCA = S DCB = 4 x 3 : 2 = 6(cm²)

Mà S DCN =  S DCB = 6 x  = 4,5(cm²) (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ D và đáy CN =  CB)

 Lại có: S DAB = S CBA (2 tam giác chung đáy AB và chung chiều cao là chiều cao hình thang ABCD)

=> S ADB = S BCA = 4 x 5 : 2 = 10(cm²)

Mà S ANB =  S CBA = 10 x  = 2,5(cm²) ( 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ A và đáy BN =  BC)

Vậy chiều cao hạ từ N xuống đáy AB là: 2,5 x 2 : 5 = 1(cm)

=> S DNA = S ABCD - S DCN - S ANB = 16 - 4,5 - 2,5 = 9(cm²)

Mà S MNA =  S DNA = 9 x  = 2,25(cm²) ( 2 tam giác có chung chiều cao hạ từ N và đày AM =   AD)

=> S MNBA = S (MNA + ANB) = 2,5 + 2,25 = 4,75(cm²)

=> MN =  - 5 = 4,5(cm)

Đ/s: a) 4cm

          b) 4,5cm