Thi Toán Violympic, IOE

Violympic OlympicTrạng nguyên Tiếng việtChơi cờ Vua Cờ Tướng

Máy tính bỏ túi

TÀI NGUYÊN - TRI THỨC

Thời tiết 3 miền - Tỉ giá

Hà Nội
Huế
TP HCM

LỊCH HÔM NAY

Liên kết Web GD

Web Bộ Ngành-Báo Chí

Liên kết Web Tổng hợp

DỰNG NƯỚC - GIỮ NƯỚC

QPVN

Tin Báo mới

Gạo đem vào giã bao đau đớn. Gạo giã xong rồi trắng tựa bông. Sống ở trên đời người cũng vậy. Gian nan rèn luyện mới thành công ! (Chủ tịch Hồ Chí Minh)

Thành viên trực tuyến

4 khách và 0 thành viên

Ảnh ngẫu nhiên

NKLTTC.mp3 NKL.mp3 NKL.mp3 NKL.mp3 NKL_Mai_truong_my.mp3 NKL_La_thu.mp3 NKL_BAI_CA_NGV.mp3 Nhac_nen_du_thi_ke_chuyen_ve_Bac.mp3 Cay_canh.jpg Calculator.swf Tucngu54.swf Dong_ho_lichSen_va_Trang.swf Dong_ho_lichdan_tranh2.swf Dong_ho_hoa_sen.swf Chao_nam_hoc_moi_20112012.swf Lich_Tet_1.swf Lich_am_duong.swf Flashdanhngon.swf Xoa_link.swf Bac_Ho.swf

Điều tra ý kiến

Bạn thấy trang này như thế nào?
Đẹp
Bình thường
Đơn điệu
Ý kiến khác

Thống kê

  • truy cập   (chi tiết)
    trong hôm nay
  • lượt xem
    trong hôm nay
  • thành viên
  • Tìm kiếm thông tin

    Google.com.vn Trang này
    Gốc > Toán học - Đề thi > Đề toán - Đề thi >

    Một số bài toán hình học tiểu học (Chọn lọc)

                                                                                th_vietnam

    Bài 1. Cho hình thang ABCD, bốn điểm M, N, P, Q lần lượt là chính giữa các cạnh AB, BC, CD, DA. Hãy so sánh diện tích tứ giác MNPQ với diện tích hình thang ABCD?

                                                               taifile

                                                                               Giải

                     photo image001_zps2459975d.gif

    *Ta có S 1S QAM =1/2 S QAB(2 tam giác cùng chiều cao hạ từ đỉnh Q và đáy AM = 1/2 AB)

                   và S BQA =1/2 S BDA (2 tam giác cùng chiều cao hạ từ đỉnh B và đáy AQ = 1/2 AD)

    =>S 1=1/4 S ABD

    *Tương tự:

      S = 1/4 S ABC

      S = 1/4 S BCD

      S = 1/4 S ACD

    => S 1S 2S 3S = 1/4 S (ABD ABC BCD ACD) = 1/4 S (ABCD x 2) = 1/2 S ABCD

    => S MNPQ = S ABCD - 1/2 S ABCD = 1/2 S ABCD

    KL: S MNPQ=1/2 S ABCD

    Bài 2. Một hình vuông và một hình chữ nhật có chu vi bằng nhau thì hình nào có diện tích lớn hơn? Vì sao?

                                                                   taifile

                                                                                 Giải?

                                      

     Ta đem hình nọ xếp chồng lên hình kia như hình vẽ trên ta được một hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng hình vuông AEGH.

    Theo bài ra,ta có:

    (AE+EB) +BC+ (CO+OD) + AD = AE+ (EO+OG) +GH +(HD+AD)

    Vì AE = DO = HG và AD = EO = BC nên EB + CO = OG + HD

    hay: EB x 2 = DH x 2

    =>EB = DH

    Vì AH>DA nên DO >CB

    Hai hình chữ nhật (1) và (2) có cạnh EB = DH, mà ạnh còn lại DO>CB nên S1 > S2

    ==>S1 + S2 > S2 + S3

    Hay AEGH > S ABCD

    Kết luận: Nếu một hình vuông có chu vi bằng một hình chữ nhật thì hình vuông sẽ có diện tích lớn hơn. 

    Bài 3Một hình vuông và một hình chữ nhật có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn?

     

                                                                 taifile

     

                                                                               Giải?

                                      

    Đem hai hình xếp chồng lên nhau như hình vẽ trên.

    Theo đầu bài, diện tích hình chữ nhật ABCD bằng diện tích hình vuông AEGH.

    Vậy S2 = S3

    ==> S2 + S4 > S3

    Vì EG = GH (Cùng là cạnh hình vuông ABCD) nên EB = GK > DH = IG

    Mà IC = EB nên IC > DH

    ==>  EB + IC > DH + IG

    Kết luận: Một hình vuông có diện tích bằng một hình chữ nhật thì hình chữ nhật sẽ có chu vi lớn hơn.

    Bài 4. Cho hình tứ giác ABCD, điểm M là điểm chính giữa cạnh BC, điểm E là điểm chính giữa cạnh AD. Nối điểm A với điểm M, nối điểm B với điểm E, hai đoạn này cắt nhau ở điểm K. Nối điểm D với M, nối điểm C với điểm E, hai đoạn thẳng này cắt nhau ở điểm N.

    Cho biết diện tích tam giác ABK bằng 3 cm2, diện tích tam giác CDN bằng 5 cm2. Tính diện tích hình tứ giác EKMN?

                                                                    taifile

                                                                                   Giải

                                     

    Ta có:

    *S ABCD = S ABC + S ACD

    Hay

    S ABCD = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6 + S 7 + S 8

    *Vì MB = MC nên:

    S1 + S2 = S ABC : 2 ( Tam giác ABM và ABC có chung đường cao hạ từ A và BM = BC : 2 )

    *Tương tự: S 7 + S 8 = S ACD : 2 ( Tam giác CED và ACD có chung đường cao hạ từ C và DE = AD : 2 )

    *Do đó:

    S 1 + S 2 + S 7 + S 8 = S 3 + S 4 + S 5 + S 6 = S ABCD : 2

    *Lại có:

    S 2 + S 3 = S 5 + S 6 (Hai tam giác BME và CME có chung đường cao hạ từ E và BM = CM)

    S 5 + S 8 = S 3 + S 4 (Hai tam giác AME và DME có chung đường cao hạ từ M và ED = EA)

     ==>S 2 + S 8 = S 4 + S 6

    *Vì S 1 + S 7 + (S 2 + S 8) = S 3 + S 5 + (S 4 + S 6) mà S 2 + S 8 = S 4 + S 6

    Nên S 1 + S 7 = S 3 + S 5

    ==>S 3 + S 5 = 3 cm2 + 5 cm2 = 8 cm2

    Hay S EKMN = 8 cm2

    Đáp số : 8 cm2

    Bài 5. Cho hình thang ABCD (như hình vẽ). Biết diện tích hai tam giác AED và BFC lần lượt là 5,2 cm2 và 4,8 cm2. Tính diện tích hình tứ giác MENF.

                                      

                                                                taifile

                                                                                Giải

                                                             Nối M với N như hình vẽ.

                                   

    - Ta có: S DAM = S NAM (2 tam giác có chung đáy AM và chiều cao hạ từ 2 đỉnh D và N xuống đáy AM bằng nhau)

    Mà 2 tam giác DAM và NAM có phần chung diện tích là tam giác EAM => S1 = S2  (1)

                S NMB = S CMB (2 tam giác có chung đáy MB và chiều cao hạ từ 2 đỉnh N và C xuống đáy MB bằng nhau)

    Mà 2 tam giác NMB và CMB có chung S FMB => S3 = S4  (2)

    Từ (1) và (2) => S1 + S4 = S2 + S3 

    Hay S MFNE là: 5,2 + 4,8 = 10 (cm2)

    Đ/s: 10 cm2

    Bài 6. Cho hình thang ABCD (đáy lớn AD, đáy bé BC), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm M. Tính diện tích các tam giác MAB, MBC, MCD, MDA biết rằng AD= 20 cm, BC=10 cm và chiều cao của hình thang bằng 12 cm.

    (Đề thi tuyển vào lớp 6 Trường Amsterdam-HN,năm học 1994-1995)

                                                          taifile

                                                                         Giải

                   

    Hạ DK vuông góc với AC;BH vuông góc với AC.

    Ta có:

    S MDA/S MAB = DK/BH (2 tam giác có chung đáy AM)

    Mà DK/BH = S ACD/S ABC (2 tam giác có chung đáy AC)

    Lại có:S ACD/S ABC = AD/BC(2 tam giác có chiều cao hạ từ A và C bằng nhau)

    ==>S MDA/S MAB=AD/BC=20/10=2(cm)

    Mà S MDA+S MAB=S ABD=20 x 12 : 2=120(cm2)

    Vậy theo cách tìm dạng toán tìm hai số biết tổng(60cm2) và tỉ số(2),ta có:

    S MAB=120:(2+1)=40 (cm2)

    S MAD=40 x 2 =80 (cm2)

    Lại thấy: S ABC=10 x 12 : 2=60 (cm2)

    S ACD=20x12:2=120 (cm2)

    Nên S MCD=S ACD-SMAD=120-80=40 (cm2)

    S MBC=S ABC - S MAB=60-40=20 (cm2)

    Đáp số:S MAB=40cm2; S MBC=20cm2; S MCD=40cm2; S MAD=80cm2.

    Bài 7.Cho M, N, P là ba điểm chính giữa của ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng AM, BN, CP cắt nhau tại 1 điểm G, điểm G này nằm ở 1/3 của mỗi đoạn kể từ đáy.

                                                                  taifile

                                                                                  Giải

                            

    Ta có S GMB = S GMC(vì MB=MC,chung chiều cao hạ từ G) (1)

    S GNC=S GNA(vì NA=NC,chung chiều cao hạ từ G) (2)

    Lại có:S BCN=1/2 S ABC (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ B và đáy CN=1/2 CA)

    S ACM=1/2 S ABC (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ A và đáy CM=1/2 CB)

    =>S BCN=S ACM

    Mà S ACM và S BCN cùng có chung S GCM+S GCN

    =>S GMB=S GNA (3)

    Từ (1),(2),(3) ta có:

    S GMC=S GNC=S GNA hay S GMC=1/3(S GMC+S GNC+S GNA)

    =>S GMC=1/3 S CMA,hay GM=1/3AM (2 tam giác CMA và CMG có chung chiều cao hạ từ C)

    Do đó,BN cắt AM tại G ở 1/3 của AM kể từ đáy.

    (Tương tự ta chứng minh được CP cũng cắt AM tại G ở 1/3 của AM kể từ đáy)

    Vậy ba đoạn AM,BN,CP cắt nhau ở một điểm G nằm ở 1/3 của mỗi đoạn kể từ đáy.

    Bài 8. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Đoạn thẳng AC cắt đoạn thẳng BD lại O (như hình vẽ).

                                  

    a. So sánh diện tích hai hình tam giác DAO và BCO?

    b. Biết diện tích hình tam giác BAO bằng 1cm2 và diện tích hình tam giác DCO bằng 4cm2. Tính diện tích hình thang ABCD.

    c. Tính tỉ số hai đáy của hình thang AB/CD?

    Giải

    a.Ta có:

    S ADC= S BCD (2 tam giác có chung đáy DC và có chiều cao hạ từ A và B bằng nhau)

    mà 2 tam giác ACD và BCD có phần diện tích chung là tam giác ODC.

    =>S DAO= S COB

    (Hoặc: ta có S ABD= S ABC vì có chung đáy AB và 2 chiều cao hạ từ C và D bằng nhau.

    2 tam giác này có chung phần diện tích là tam giác OAB => SAOD=S BOC)

    b.Ta thấy:

    S ABO/S AOD= OB/OD (2 tam giác ABO và AOD có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên tỉ số diện tích bằng tỉ số 2 cạnh đáy) (1)

    S OBC/S OCD= OB/OD (2 tam giác OBC và OCD có chung chiều cao hạ từ đỉnh C nên tỉ số diện tích bằng tỉ số 2 cạnh đáy) (2)

    Từ (1) và (2) => S ABO/ S AOD= S BOC/ S OCD

    Mà SAOD= S BOC (chứng minh phần a)

    => 1/S AOD= S AOD/4 =>S AOD=1: S AOD/4=> S AOD =4/ S AOD

    => S AOD x S AOD = 4 hay S AOD = 2.

    Vậy diện tích hình thang ABCD là:

    1 + 2 x 2 + 4 = 9 (cm2)

    c.Ta có:

    S ABC= S ABO+ S BOc= 1+2 = 3 (cm2)

    S BCD= S BOc + OCD = 2+ 3= 5 (cm2)

    =>S ABC/S BCD= AB/CD (2 tam giác ABC và BCD có chiều cao hạ từ 2 đỉnh C và B bằng nhau  nên tỉ số diện tích bằng tỉ số 2 cạnh đáy)

    Vậy AB/CD=3/5

    Đ/s: a.S AOD= S BOC

    b.9cm2

    c.AB/CD=3/5.

    Bài 9. Cho hình tròn tâm O và hình vuông ABCD (hình vẽ) có đường chéo AC=12 cm. Tính diện tích phần gạch chéo.

                                               

     

    Giải

    Độ dài OA=OC là:

    12:2= 6 (cm)

    Diện tích tam giác vuông AOD là: 6 x 6 : 2= 18 (cm2)

    Diện tích hình vuông ABCD là:

    18 x 2 x 2=72 (cm2)

    Kẻ OH vuông góc với DC vậy OH là bán kính hình tròn tâm O. Coi độ dài OH= r vậy r =1/2 độ dài cạnh hình vuông.

    Ta có diện tích hình vuông ABCD tính theo r là:

    r x 2 x r x 2= 72 (cm2) 

    => r x r x 4 = 72 (cm2)

    hay r x r = 72 : 4 = 18 (cm)

    Vậy diện tích hình tròn là: r x r x 3,14 = 18 x 3,14 = 56,52 (cm2)

    Diện tích phần gạch chéo là: 72 - 56, 52 = 15,48 (cm2)

    Đ/s: 15,48 cm2

    Bài 10. Phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây chiếm bao nhiêu phần của tam giác ABC , nếu mỗi cạnh của hình tam giác ABC được chia làm 3 phần bằng nhau bởi các điểm?

                                          

                                                               

                                                                                  Giải

                                                                  Nối C với P như hình vẽ.

                                         

    Ta thấy, S APN = 2/3 S APC (Cùng đường cao hạ từ đỉnh P xuống AC và đáy AN = 2/3AC)

    Mà S APC = 1/3 S ABC (Cùng đường cao hạ từ đỉnh C xuống AB và đáy AP = 1/3 AB)

    Nên S APC = 2/3 x 1/3 S ABC = 2/9 S ABC.

    Tương tự ta có: S BMP = 2/9 S ABC.

                              S CNM = 2/9 S ABC

    => S APN + S BMP + S CNM = 2/9 x 3 S ABC = 2/3 S ABC.

    => S MNP = S ABC - (S APN + S BMP + S CNM) = 1 - 2/3 = 1/3 S ABC.

    Vậy diện tích phần tô đậm chiếm 1/3 diện tích tam giác ABC.

    Bài 11. Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M, sao cho MB=1/3 BC. Nối AM, trên AM lấy điểm G sao cho GM=1/2 AM. Kéo dài Bg cắt AC tại N. Tính:

    a. Diện tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác ABM là 672 cm2.

    b. Tỉ số AN/NC.

    Giải

                                         

    a. Ta có: S ABM = 1/3 S ABC (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A mà đáy BM = 1/3 BC)

    Vậy diện tích tam giác ABC là: 672 x 3 = 2016 (cm2)

    b. Ta có: S MGB =1/3 S CGB (2 tam giác có cùng chiều cao hạ từ G và đáy MB= 1/3 CB)

    mà S ABG = S MGB (2 tam giác có cùng chiều cao hạ từ B và đáy GA = GM)

    => S AGB =1/3S CGB mà 2 tam giác này có chung đáy GB nên chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy GB của tam giác AGB bằng 1/3 chiều cao hạ từ C xuống đáy GB của tam giác CGB.

    Xét 2 tam giác NAG và NCG có chung đáy NG mà chiều cao hạ từ đỉnh A xuống đáy NG của tam giác NAG bằng 1/3 chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy NG của tam giác CNG => SNAG = 1/3 SCNG.

    2 tam giác NAG và CNG lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh G => Đáy AN = 1/3 NC.

    Vậy tỉ số AN/NC=1/3.

    Đ/s: a. 2016 (cm2); b. AN/NC=1/3.

    Bài 12. Cho hình tròn tâm O và hình vuông ABCD có AB = 6 cm (Như hình vẽ). Tính diện tích phần gạch chéo.

                                                     Kết quả hình ảnh cho Cho hình tròn tâm O và hình vuông ABCD

    Giải

    Diện tích hình vuông ABCD là: 6 x 6 = 36 (cm2)

    Diện tích tam giác vuông AOB là: 36 : 4 = 9 (cm2)

    Tích 2 cạnh góc vuông (AO x OB) của tam giác vuông AOD (cũng là tích bán kính với bán kính của hình tròn tâm O) là: 9 x 2 = 18 (cm)

    Vậy diện tích hình tròn tâm O là: 18 x 3,14 = 56,52 (cm2)

    Diện tích phần gạch chéo là: 56,52 - 36 = 20,52 (cm2)

    Đ/s: 20,52 cm2

    Bài 13. Cho hình vẽ sau:

                                                  

    Tính diện tích hình tam giác AMP, biết BM=1/BCAN=3/ACMP=1/MN và diện tích hình tam giác ABC bằng 75 cm2.

    Giải

    Ta có: S AMB = 1/5 S ABC = 75 x 1/5 = 15 (cm2) (2 tam giác cùng chiều cao hạ từ A và đáy BM = 1/5 BC)

    S BNC = 1/4 S ABC = 75 x 1/4 = 18,75 (cm2) (2 tam giác cùng chiều cao hạ từ B và đáy NC = 1 - 3/4 = 1/4 AC)

    S MNC = 4/5 S BNC = 18,75 x 4/5 = 15 (cm2) (2 tam giác cùng chiều cao hạ từ N và đáy MC = 1 - 1/5 = 4/5 BC)

    Diện tích tam giác ANM là: 75 - 15 - 15 = 45 (cm2)

    Lại có S AMP = 1/3 S AMN (2 tam giác cùng chiều cao hạ từ A và đáy MP =1/3 MN)

    Vậy diện tích tam giác AMP là: 45 x 1/3 = 15 (cm2)

    Đ/s: 15cm2

    Bài 14. Cho hình vẽ.

                                      

     Tính diện tích hình tam giác AMB, biết hình tròn tâm O có chu vi 43,96cm.

    Giải

    Đường kính hình tròn tâm O (cũng là đáy AB của tam giác MBA) là: 43,96: 3,14 =14 (cm)

    Bán kính hình tròn tâm O (cũng là chiều cao MO của tam giác MBA) là: 14 : 2 = 7 (cm)

    Diện tích tam giác AMB là: 7 x 14 : 2 = 49 (cm2)

    Đ/s: 49 cm2

    Bài 15. Cho hình vuông ABCD nằm trong hình tròn tâm O (Như hình vẽ). Tính diện tích hình vuông ABCD, biết chu vi của hình tròn là 43,96cm.

                                              

    Giải 

    (Tương tự bài 15)

    Bài 16. Cho hình vẽ:

                                           

    Tính:
    a) Diện tích của phần đã tô màu.
    b) Chu vi của phần không tô màu.
     

    Giải


    a. Ta thấy,mỗi phần tô màu có dạng 1/4 hình tròn bán kính 10 cm. Vậy 4 phần tô màu ghép lại sẽ được 1 hình tròn có bán kính 10 cm.

    Diện tích phần tô màu là: 10 x 10 x 3,14 = 314 (cm2)

    b. Ta thấy, mỗi cạnh của phần không tô màu chính là 1/4 đường tròn của hình tròn bán kính 10 cm. 4 cạnh này ghép lại chính là chu vi của hình tròn bán kính 10 cm.

    Chu vi của phần không tô màu là: 10 x 2 x 3,14 = 62,8 (cm)

    Đ/s: a. 314 cm2; b. 62,8 cm

    Bài 17. Cho hình vẽ:

                                                     
    Tính:

    a) Diện tích hình vuông ABCD.
    b) Diện tích phần đã tô màu của hình tròn.

    Giải

    a. Diện tích hình vuông ABCD là: (4 x 4 : 2) x 4 = 32 (cm2)

    b. Diện tích hình tròn tâm O là: 4 x 4 x 3,14 = 50,24 (cm2)

    Diện tích phần tô màu là: 50,24 -32 = 18,24 (cm2)

    Đ/s: 18,24 cm2

    Bài 18. Cho hình vẽ sau:

                                     
    Hãy tính diện tích bông hoa (phần tô màu), biết cạnh hình vuông là 5 cm.

    Giải

    Diện tích hình vuông là: 5 x 5 = 25 (cm2)

    Ta thấy, 2 cánh hoa được tô màu ghép với 1 phần không tô màu (giữa 2 cánh hoa đó) tạo thành một nửa hình tròn đường kính 5 cm. Vậy 4 cánh hoa tô màu ghép với 2 phần không tô màu tạo thành một hình tròn đường kính 5 cm.

    Bán kính hình tròn đó là: 5 : 2 =2,5 (cm)

    Diện tích hình tròn đó là: 2,5 x 2,5 x 3,14 = 19.625 (cm2)

    Diện tích 2 phần trắng (không tô màu) là: 25 - 19,625 = 5,375 (cm2)

    Diện tích bông hoa (phần tô màu) là: 19,625 - 5,375 = 14,25 (cm2)

    Đ/s: 14,25 cm2

    Bài 19. Cho hai hình tròn như hình vẽ bên. Chu vi hình tròn lớn là 30,144 cm, chu vi hình tròn nhỏ là 21,98 cm. Tính diện tích phần gạch chéo.

                                                
     

    Giải

    Bán kính hình tròn lớn là: 30,144 : 3,14 : 2 = 4,8 (cm)

    Diện tích hình tròn lớn là: 4,8 x 4,8 x 3,14 = 72.3456 (cm2)

    Bán kính hình tròn bé là: 21,98 : 3,14 : 2 = 3,5 (cm)

    Diện tích hình tròn bé là: 3,5 x 3,5 x 3,14 = 38,465 (cm2)

    Diện tích phần gạch chéo là: 72,3456 - 38,465 = 33.535 (cm2)

    Đ/s: 33,535 cm2

    Bài 20. Tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ sau:

                          

    Giải

    Kí hiệu các phần diện tích như trong hình vẽ.

                                                  

    Diện tích hình chữ nhật trong hình vẽ là: 8 x 6 = 48 (cm2)

    Bán kính hình tròn (phần trắng) trong hình vẽ là: 10 : 2 = 5 (cm)

    Diện tích hình tròn này là: 5 x 5 x 3,14 = 78,5 (cm2)

    Tổng diện tích các phần (1+2+3+4) là: 78,5 - 48 = 30,5 (cm2)

    Ta thấy tổng diện tích các phần(A+1+2+B) bằng diện tích hình tròn có bán kính là: 8 : 2 = 4 (cm)

    Tổng diện tích các phần (A+1+2+B) là: 4 x 4 x 3,14 = 50,24 (cm2)

    Ta thấy, tổng diện tích các phần (C+3+4+D) bằng diện tích hình tròn có bán kính là: 4 : 2 = 2 (cm)

    Tổng diện tích các phần (C+3+4+D) là: 2 x 2 x 3,14 = 12,56 (cm2)

    Diện tích phần tô đậm trong hình đã cho là: (50,24 + 12,56) - 30,5 = 32,3 (cm2)

    Đ/s: 32,3 cm2

    Bài 21. Một cái sân chơi hình vuông có diện tích 50 m2 và ở 4 góc trồng 4 cây cổ thụ. Nay người ta mở rộng thành sân hình tròn sao cho 4 cây vẫn giữ lại như trong hình vẽ. Hỏi sân được mở rộng thêm bao nhiêu mét vuông ?

                                                  

    Giải

    Gọi 2 điểm góc trồng cây là A và B;  O là tâm của cái sân hình tròn khi được mở rộng như hình vẽ.

                                                    

    Diện tích phần đất hình tam giác AOB là: 50 : 4 = 12,5 (m2)

    Tích 2 cạnh góc vuông (AO x OB) của phần đất hình tam giác vuông AOB (cũng là tích của bán kính với bán kính cái sân hình tròn tâm O) là: 12,5 x 2 = 25 (cm2)

    Diện tích cái sân hình tròn tâm O là: 25 x 3,14 = 78,5 (cm2)

    Phần diện tích sân được mở rộng là: 78,5 - 50 = 28,5 (m2)

    Đ/s: 28,5 m2

    Bài 22. Cho hình vẽ:

                                                

    Biết diện tích hình tròn tâm O là 6,28 cm2, hãy tính diện tích hình vuông ABCD.

    Giải

    Tích của bán kính với bán kính (r x r) của hình tròn tâm O (cũng là tích 2 cạnh góc vuông tam giác vuông AOB) là: 

    6,28 : 3,14 = 2 (cm2)

    Mà AO = OB = r

    Diện tích tam giác vuông AOB = 1/4 diện tích hình vuông ABCD và bằng: 2 : 2 = 1 (cm2)

    Diện tích hình vuông ABCD là: 1 x 4 = 4 (cm2)

    Đ/s: 4 cm2

    Bài 23. Một mảnh vườn hình tam giác có góc A vuông, AB = 30 m, AC = 50 m. Theo quy hoạch, người ta cắt dọc theo AB một phần đất rộng 10 m để làm đường (Như hình vẽ). Tính diện tích phần còn lại?

                                   

    Giải

    Nối A với E như hình vẽ.

                                           

    Diện tích mảnh vườn ban đầu là: 50 x 30 : 2 =750 (m2)

    Diện tích phần đất hình tam giác AEB là: 10 x 30 : 2 = 150 (m2)

    Diện tích phần đất hình tam giác CEA là: 750 - 150 = 600 (cm2)

    Chiều cao DE của tam giác CEA (cũng là cạnh đáy tam giác CED) là: 600 x 2 : 50 = 24 (m)

    Độ dài CD (cũng là chiều cao tam giác CED) là: 50 - 10 = 40(m)

    Diện tích phần đất còn lại là: 40 x 24 : 2 = 480 (cm2)

    Đ/s: 480 cm2

    Bài 24. Có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật trong hình vẽ sau?

                                                    

    Giải

    Cạnh chiều dài hình đã cho có 7 điểm tạo thành số cặp điểm là:

    7 x 6 : 2 = 21 (cặp điểm)

    Cạnh chiều rộng hình đã cho có 5 điểm tạo thành số cặp điểm là:

    5 x 4 : 2 = 10 (cặp điểm)

    Vì cứ 1 cặp điểm chiều dài tạo với 1 cặp điểm chiều rộng 1 hình chữ nhật nên hình trên có tất cả số hình chữ nhật là:

    21 x 10 = 210 (hình)

    Đ/s: 210 hình

    Bài 25. Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB dài 36 cm, cạnh AD dài 16 cm. M và N là hai điểm trên cạnh AB sao cho AM = MN = NB, đoạn CM và DN cắt nhau tạo O. Tính diện tích MON?

                                         

    Giải (Có thể trình bày theo các cách khác nhau)

    Nối M với D, N với C như hình vẽ.

                                         

    *Cách 1: Ta có: S DMN = 1/3S NCD (2 tam giác có chiều cao hạ từ D và N xuống đáy bằng nhau và đáy MN=1/3DC)

    Mặt khác, 2 tam giác này lại có chung đáy DN nên chiều cao hạ từ M bằng 1/3 chiều cao hạ từ C.

    Xét 2 tam giác MNO và CNO có chung đáy NO mà chiều cao hạ từ M bằng 1/3 chiều cao hạ từ C nên S MNO =1/3S CNO. Vậy diện tích MNO là 1 phần thì diện tích CNO gồm 3 phần như thế.

    Độ dài MN là: 36 : 3 = 12(cm)

    Diện tích NCM là: 16 x 12 : 2 = 96 (cm2)

    Diện tích MNO là: 96 : (1 + 3) = 24 (cm2)

    Đ/s: 24 cm2

    * Cách 2:

    Độ dài MN là: 36 : 3 =12 (cm)

    Diện tích DMN là: 16 x 12 : 2 = 96 (cm2)

    Diện tích NCD là: 16 x 36 : 2 = 288 (cm2)

    Tỉ số diện tích tam giác DMN và NCD là: 96 : 288 = 1/3

    Mà 2 tam giác MND và CND có chung đáy ND nên chiều cao hạ từ M của tam giác MND bằng 1/3 chiều cao hạ từ C của tam giác CND.

    2 tam giác MNO và CNO có chung đáy NO mà chiều cao hạ từ M của tam giác MNO bằng 1/3 chiều cao hạ từ C của tam giác CNO nên S MNO =1/3S CNO. Mà S MNO + S CNO = S MNC. Vậy diện tích MNO = 1/4 diện tích MNC.

    Diện tích MNC là: 16 x 12 : 2 = 96 (cm2)

    Diện tích MNO là: 96 x 1/4 = 24 (cm2)

    Đ/s: 24 cm2

     1 số bài toán chọn lọc tiểu học

    1 số bài toán chuyển động chọn lọc lớp 5

    Giải bài toán về tạo lập số,tìm số lượng các số

    Giải 1 số bài toán bằng cách dùng đơn vị quy ước

    Giải bài toán về tỉ số %

    Tập giải một số bài toán hình tiểu học

    Giỏi hơn với tập giải một số bài toán hay lớp 5

    Bài toán về Đại lượng tỉ lệ nghịch


    Nhắn tin cho tác giả
    Nguyễn Tuấn Anh @ 22:20 15/05/2017
    Số lượt xem: 178854
    Số lượt thích: 5 người (Trần Hùng, Hoàng Mai, Hoài Thu, ...)
    Avatar

    Bài 1:
                
    Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm I, sao cho IB=IC. Nối AI, trên đoạn AI lấy điểm M để có MI=1/2AM. Nối và kéo dài đoạn CM cắt cạnh AB tại N. So sánh diện tích 2 hình tam giác AMN và BMN.
                                                
    (Phỏng theo đề thi HSG Toán cấp Tỉnh An Giang khoảng năm 1983-1984)

                Giải

    Ta có SMIC= 1/2 SMCA         (2 tam giác có IM= 1/2 AM; cùng đường cao kẻ từ C).
               
    SMIC=SMIB                  (2 tam giác có IB=IC; cùng đường cao kẻ từ M).
     
           Cho ta:      SAMC=SBMC       (SBMC=SMIC+SMIB).
     
           Hai tam giác AMC và BMC có chung đáy MC. Nên 2 đường cao kẻ từ A và từ B xuống cạnh đáy MC bằng nhau.
     
           Hai đường cào này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMN và BMN. Hai tam giác này lại có cạnh đáy chung là MN.
     
           Vậy:                 SAMN=SBMN 



    Bài 2:
                Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA < NC. Tìm điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích bằng nhau?

             Hướng dẫn tìm cách giải
    Nếu N là điểm K trung điểm của AC thì NB (KB) sẽ chia hình tam giác ABC làm 2 hình tam giác có diện tích bằng nhau. Do NA < NC nên điểm M phải nằm trên BC.

    Qua hình vẽ cho ta thấy điểm M trên BC thế nào để NM và KB kết hợp với 2 cạnh của ABC để có 2 hình tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau thì M chính là điểm cần tìm.

                Giải
    Lấy K là trung điểm của AC. Nối BK.
    Ta có SABK = SCBK   (K trung điểm AC)     ==>  SABK = 1/2 SABC

    Từ K kẻ đoạn thẳng song song với NB cắt BC tại M.

    Trong hình thang NBMK cặp tam giác NOK  BOM có diện tích bằng nhau.

             
    (SNBK=SNBM ; SNOK=SNBK  SNBO ; SBOM= SNBM  SNBO ==>  SNOK=SBOM )

    Tứ giác ABMN có:   SABMN = SABK + SBOM – SNOK = SABK =   SABC

    Vậy M chính là điểm cần tìm.
     

    Bài 3:                Một miếng vườn trồng cây ăn trái có chiều dài 25m, chiều rộng bằng 3/5 chiều dài. Trong vườn người ta xẻ 2 lối đi có chiều rộng là 1m (như hình vẽ). Tính phần diện tích còn lại để trồng cây?

            Cách 1:
    Chiều rộng miếng vườn: 25 : 5 x 3 = 15 (m) 
    Chiều dài mỗi hình chữ nhật nhỏ: ( 25 - 1 ) : 2 = 12 (m) 
    Chiêu rộng mỗi hình chữ nhật nhỏ: ( 15 - 1 ) : 2 = 7 (m) 
    Diện tích phần còn lại để trồng cây: 12 x 7 x 4 = 336 (mét vuông) 
            Đáp số : 336 mét vuông 


            Cách 2:
    Chiều rộng miếng vườn : 25 : 5 x 3 = 15 (m) 
    Diện tích miếng vườn : 25 x 15 = 375 (mét vuông) 
    Diện tích lối đi theo chiều dài : 25 x 1 = 25 (mét vuông) 
    Diện tích lối đi theo chiêu rộng : 15 x 1 - 1 = 14 (mét vuông) 
    Diện tích phần đất còn lại để trồng cây: 375 - ( 25 + 14 ) = 336 (mét vuông) 
            Đáp số : 336 mét vuông 


            Cách 3:

     Giả sử ta dời 2 lối đi ra sát bìa ranh miếng vườn, lúc này lối đi sẽ có hình chữ L (như hình vẽ) và phần đất còn lại là hình chữ nhật trọn vẹn. 
    Chiều rộng miếng vườn : 25 : 5 x 3 = 15 (m) 
    Chiều rộng phần đất còn lại : 15 - 1 = 14 (m) 
    Chiều dài phần đất còn lại : 25 - 1 = 24 (m) 
    Diện tích phần đất còn lại để trồng cây : 24 x 14 = 336 (mét vuông) 
            Đáp số : 336 mét vuông


    Bài 4 
            Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. P là điểm chia cạnh DC thành 2 phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối PN (hình vẽ). Biết diện tích tam giác DOP lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm2. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
                                                                                    (Đề thi học sinh giỏi Quảng Ninh - TTT số 35) 


                Giải
            2 tam giác MPN và NPD có phần chung là tam giác NOP. Mà SDOP - SMON = 3,5cm2. 
            Nên SNPD - SMPN = 3,5cm2 .

    Mặt khác   SNPD  = ¼ SABCD  (NDP có đáy bằng ½ chiều dài và đường cao bằng chiều rộng hình ABCD)   SMPN = 1/6 SABCD (MPN có đáy bằng 1/3 chiều dài và đường cao bằng chiều rộng hình ABCD).

    Hay:   ¼ SABCD - 1/6 SABCD = 1/12 SABCD = 3,5cm2

    Diện tích hình chữ nhật:   3,5 x 12 = 42 (cm2)

     
             Đáp số:  42 cm2

     

    Bài 5
            Trong hình vẽ, ABCD và CEFG là hai hình vuông. Biết EF = 12 cm. Hãy tính diện tích tam giác AEG. 
                                                             (Đề thi toán quốc tế  Tiểu học ở Hồng Kông)
     

                Giải

        Nối AC.
        Ta có  SACE = SACG  (đáy CE=CG cạnh hình vuông nhỏ, đường cao AB=AD cạnh hình vuông lớn).
        Hai tam giác này có phần chung là ACI. 
        Suy ra SCIE = SAIG   
        Mà SAEG = SAIG + SGIE = SCIE + SGIE = SGEC
        Diện tích tg GEC bằng với diện tích tg. AEG
            12 x 12 : 2 = 72 (cm2)
                    Đáp số:   72 cm2
        
     



    Bài 6:  Một trại nuôi cá sấu có một hồ nước hình vuông, ở giữa hồ người ta chữa một đảo nhỏ hình vuông cho cá sấu bò lên phơi nắng. Phần mặt nước còn lại rộng 2000m2. Tổng chu vi hồ nước và chu vi đảo là 200m.
              
    Tính cạnh hồ nước và cạnh của đảo? 




                Giải

    Giả sử ta dời hòn đảo sát với góc của hồ nước. Nối góc đảo và góc hồ (như hình vẽ).

    Mặt nước còn lại là 2 hình thang vuông có diện tích bằng nhau (2 đáy bằng nhau và đường cao bằng nhau _ Bằng hiệu của cạnh hồ và cạnh đảo).

    Diện tích mỗi hình thang là:        2000 : 2 = 1000 (m2)

    Tổng 2 đáy là:               200 : 4 = 50 (m)

    Chiều cao hình thang cũng là hiệu cảu cạnh hồ và cạnh đảo:           1000 x 2 : 50 = 40 (m)

    Cạnh của đảo là:           (50 – 40) : 2 = 5 (m)

    Cạnh của hồ là: 50 – 5 = 45 (m)

                Đáp số:            Cạnh đảo  5 mét  ;  Cạnh hồ  45 mét.

     

    Bài 7: Cho hình vẽ

     
    Biết diện tích hình tròn là 251,2cm2. Tính diện tích hình vuông?

                Giải

    Hướng giải:
                r x r = 251,2 : 3,14 = 80 
                r x r chính là diện tích hình vuông nhỏ (hình vuông 1/4)
                Diện tích hình vuông lớn:      80 x 4 = 320 (cm2)
     

    Bài 8: Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho BE gấp đôi AE; trên cạnh AC ta lấy điểm D sao cho CD gấp đôi AD. Nối E với D ta được hình tam giác AED có diện tích 5 cm2. Hãy tính diện tích hình tứ giác BCDE.
                Giải
     Hướng giải:
                               SBDE  = 5 x 2 = 10 (cm2)
                                SABD = 10 + 5 = 15 (cm2)
                                SBDC = 15 x 2 = 30 (cm2)
                                SBCDE = SBDE + SBDC
                                             = 10   +   30 = 40 cm2
     

    Bài 9:  Cho hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của cạnh AD. Đoạn thẳng AC cắt BM tại N.

        a, Diện tích tam giác BMC gấp mấy lần Diện tích tam giác AMB?

        b, Diện tích tam giác BNC gấp mấy lần diện tích tam giác ANB ? Tính diện tích hình vuông ABCD biết diện tích tam giác ANB bằng 1,5 dm2

                Giải

     

    a)   Theo đề bài : AM = 1/2 AD nên AM = 1/2 BC

      Ta có : sAMB = 1/2  sBMC  ( vì cạnh đáy AM = 1/2BC, chiều cao từ M xuống BC bằng chiều cao BA)   hay sBMC = 2 x sAMB

    b)       Từ câu a:  sBMC = 2 x sAMB  mà hai tam giác này chung đáy MB nên chiều cao  CI gấp đôi chiều cao AH

    Mặt khác tam giác BNC và ANC có chung đáy NB, chiều cao CI = 2 x AH

                                  Suy ra sBNC = 2 x sANB

    sABC = 1/2 sABCD  ( .....)

     sABC = 1.5 x (1+2) = 4,5 (dm2)

     sABCD = 4,5 x 2 =  9 (dm2)

     

     

    Bài 10: Cho tam giác ABC có BC = 8 cm. Trên cạnh AC lấy điểm chính giữa D. Nối B với D. Trên BD lấy điểm E sao cho BE gấp đôi ED. Nối AE, kéo dài cắt BC ở M. Tính độ dài đoạn BM. 
                    
    Giải

    SAED = SEDC  (AD=DC ; chung dường cao kẻ từ E)
    SAED = ½ SAEB  (ED = ½ BE ; chung đường cao kẻ từ A)

    Suy ra    SABE = SAEC

    Mà 2 tam giác này có chung đáy AE nên dường cao kẻ từ B và đường cao kẻ từ C xuống AM  bằng nhau.

    2 đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác BEM và CEM và có chung đáy EM.

    Suy ra      SBEM = SCEM

    Vậy     BM = MC = 8 : 2 = 4 (cm)
     

    Bài 11: 
                Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 45 m thì được hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.

                Giải
    Khi tăng chiều rộng thêm 45 m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật mới, còn chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều rộng của hình chữ nhật mới. Theo đề bài ta có sơ đồ :
    Chiều rộng cũ:  !---!

    Chiều dài cũ:    !---!---!---!---!

    Chiều rộng mới !---!---!---!---!

    Chiều dài mới:  !---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!---!

                                
    ( - - - - - -  -- - - - - - 45m - - - -- - -  - - - -)

    Do đó 45 m ứng với số phần là :

    16 - 1 = 15 (phần)

    Chiều rộng ban đầu là :

    45 : 15 = 3 (m)

    Chiều dài ban đầu là : 3 x 4 = 12 (m)

    Diện tích hình chữ nhật ban đầu là :

    3 x 12 = 36 (m2)
     


    Bài 12:  
     
             
    Cho hình thang ABCD như hình bên. Biết diện tích 2 tam giác AED và BCF lần lược bằng 5,2cm2 và 4,8cm2. Tính diện tích hình tứ giác MFNE. 

                Giải

            Nối M với N, ta có: S(ADN) = S(MDN) ( vì hai tam giác có chung đáy DN, đường cao hạ từ A và M xuống đáy DN bằng nhau).
     
         Vì hai tam giác trên có chung phần diện tích tam giác EDN, nên : S(ADE) = S(MEN) = 5,2 ( cm2).

     
         Tương tự như vậy ta cũng có S(BFC) = S(MNF) = 4,8 (cm2). 
          Vậy diện tích tứ giác MENF là: 5,2 + 4,8 = 
    10 ( cm2).
                  Đáp số:  10 cm2



    Bài 13:   
     
             
    Cho hình vuông cạnh 20cm và hình tròn có bán kính 10cm (hình vẽ). Tính diện tích phần không tô đậm của hình vuông và phần không tô đậm của hình tròn. 

                Giải
            Hai hình đã cho có chung phần diện tích tô đậm, nên hiệu diện tích phần không tô đậm của hình vuông và diện tích phần không tô đậm của hình tròn chính bằng hiệu diện tích của hình vuông và hình tròn.
                
    Hiệu diện tích cần tìm là: (20 x 20) – (10 x 10 x 3,14) = 86 ( cm2).
     

    Bài 14:    Cho tứ giác ABCD, M là điểm ở trên cạnh AB sao cho AM = 1/3 BM. Tính diện tích tam gáic MCD biết rằng diện tích tam giác ACD và tam giác BCD tương ứng là 24cm2 và 16cm2.


                Giải
    Chiều cao AI và BK lần lượt của 2 tam giác ACD và BCD có tỉ lệ  24/16 = 3/2
    Xem AI = 3 đơn vị độ dài thì BK = 2 (đv dài)

    Xét 2 tam giác BMN và MAN có chung đường cao kẻ từ N và BM=3MA

    Nên S_BMN = 3S_MNA   và có chung đáy MN.

    Suy ra: đường cao kẻ từ B gấp 3 lần đường cao kẻ từ A xuống MN.

    Hay  KN=3NI

    Xem KN = 3 (đơn vị độ dài) và NI= 1 (đơn vị độ dài)  thì  KI=4 (đv dài)
     
    Diện tích hình thang BAIK = (2+3):2x4 = 10 (đơnvị2)

    KBM có đáy KB, cao từ M

    SKBM = 2x3:2=3 (đv 2)

    Tương tự: SMAI = 1x3:2 = 1,5 (đv2)

    SKMI = SKBAI – (SKBM+SMAI)

              
    = 10 – (3+1,5) = 5,5 (đv2)

    Chiều cao MN = 5,5 x 2 : 4 = 2,75 (đv dài) 

    Tam giác MCD và  ACD có chung đáy. Tỉ lệ đường cao chính là tỉ lệ diện tích.

    SMCD/SACD = 2,75/3

    SMCD/24 = 2,75/3

    => SMCD = 24 x 2,75 :3 = 
    22 (cm2) 

    Bài 15:    Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = 2/3 CD. AC và BD cắt nhau tại O. Diện tích hình tam giác BOC là 15 cm2. Tính diện tích hình thang ABCD ?

            Giải

    Xét tam giác ABC và ACD có chiều cao bằng nhau và cùng bằng chiều cao hình thang mà đáy AB = 2/3 đáy CD => S_ABC = 2/3 S_ACD.
    Mặt khác 2 tam giác này có chung đáy AC => số đo chiều cao từ đỉnh B = 2/3 số đo chiều cao từ đỉnh D.

    Xét tam giác BOC và DOC có chung đáy OC chiều cao từ đỉnh B = 2/3 chiều cao từ đỉnh D => S_BOC = 2/3 S_DOC. => S_DOC = 15 : 2 x 3 = 22,5 (cm2)

    Vậy S_BCD = 15 + 22,5 = 37,5 (cm2)

    S_ABD = 37,5 x 2/3 = 25 (cm2)

    Vậy S_ABCD là : 37,5 + 25 = 62,5 (cm2).
     

    Bài 16:  

                Cho tam giác ABC có BC = 8 cm. Trên cạnh AC lấy điểm chính giữa D. Nối B với D. Trên BD lấy điểm E sao cho BE gấp đôi ED. Nối AE, kéo dài cắt BC ở M. Tính độ dài đoạn BM.

                 Giải

    SAED = SEDC  (AD=DC ; chung dường cao kẻ từ E)
    SAED = ½ SAEB  (ED = ½ BE ; chung đường cao kẻ từ A)

    Suy ra    SABE = SAEC

    Mà 2 tam giác này có chung đáy AE nên dường cao kẻ từ B và đường cao kẻ từ C xuống AM  bằng nhau.

    2 đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác BEM và CEM và có chung đáy EM.

    Suy ra      SBEM = SCEM

    Vậy     BM = MC = 8 : 2 = 4 (cm)

    Bài 17.Cho tam giác ABC.Trên đoạn AB lấy điểm M sao cho AM=MB.Trên đoạn AC lấy điểm N sao cho AN=NC.Nối C với M và nối B với N,đoạn CM cắt BN tại I.

    a.So sánh diện tích tam giác IMB và diện tích tam giác INC?

    b.Nối A với I,kéo dài AI cắt BC tại P.Chứng tỏ P là điểm chính giữa đoạn BC.

    Giải

    a.Ta có SCMB=S CMN =1/2 S ABC(2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh C và 2 đáy MB=MA)

    Tương tự ta có S BNA=S MNC =1/2 S ABC(2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh B và 2 đáy NC=NA)

    =>S BNA= S CMA

    mà 2 tam giác này có chung phần diện tích là tứ giác AMNI

    =>S INC= S IMB (1)

    b.Ta có: S INC= S INA (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh I và 2 đáy NC=NA) (2)

    Tương tự, S IMB= S IMA (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh I và 2 đáy MB=MA) (3)

    Từ (1),(2) và (3) => S INA = S IMA

    Vậy S CIA= S BIA ( S CIN+S INA=S CIA; S BIM+S IMA=S BIA)

    2 tam giác CIA và BIA có diện tích bằng nhau có chung đáy AI nên 2 chiều cao hạ từ 2 đỉnh C và B bằng nhau.

    2 chiều cao bằng nhau hạ từ C và B xuống đáy IA đó cũng chính là 2 chiều cao của 2 tam giác CIP và BIP có chung đáy IP.

    =>S CIP= S BIP

    2 tam giác CIP và BIP có diện tích bằng nhau lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh I,nên 2 đáy PC=PB.

    Hay P là điểm chính giữa BC.

    Avatar

    Bài 18:
            Cho hình thang vuông ABCD , AD= 6cm ; DC = 12cm ; AB = 2/3  DC.

                a)     Tính diện tích hình thang  ABCD.                          

                b)    Kéo dài cạnh bên AD và CB, chúng gặp nhau tại M . Tính độ dài cạnh AM.

                    Giải



    a) Cạnh AB là : 12 x 2/3 = 8 (cm)

    Diện tích ABCD là : (8 + 12) : 2 x 6 = 60 (cm2)

    b) -Xét tam giác ABC đáy AB và DBC đáy CD có chiều cao bằng nhau = 6cm mà đáy AB = 2/3 CD => S_ABC = 2/3 S_DBC.

    Vẫn xét 2 tam giác ABC và DBC chung đáy BC vì S_ABC = 2/3 S_DBC => chiều cao AK = 2/3 DH.

    -Xét tam giác AMC và DMC chung đáy MC mà chiều cao AK = 2/3 DH => S_AMC = 2/3 S_DMC. Mà S_DMC lớn hơn S_AMC là :    12 x 6 : 2 = 36 (cm2)

    S_AMC là : 36 : (3-2) x 2 = 72 (cm2) (Toán Hiệu - Tỉ)

    Xét tam giác AMC đáy AM, chiều cao CD => AM = 72 x 2 : 12 = 12 (cm)

     

    Bài 19:

            Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 360cm2. Trên cạnh AB lấy 2 điểm M và N sao cho AM=1/2AB, AN=1/3AB. Gọi giao điểm của DM và CN là O. Tính diện tích tam giác MON.

    9142399

     

     

    Ta có:

    MN = 1/2 AB - 1/3 AB = 1/6 AB

    Xét tam giác NMD và MCD có chiều cao = chiều rộng hình chữ nhật mà đáy NM = 1/6 CD => S_NMD = 1/6 S_MCD. Mà S_MCD = 360 : 2 = 180 (cm2) => S_NMD = 180 : 6 = 30 (cm2)

    Mặt khác 2 tam giác này chugn đáy MD => Chiều cao tam giác NMD đỉnh N = 1/6 chiều cao tam giác MCD đỉnh C

    Xét tam giác NMD và NMC chung đáy NM chiều cao bằng nhau => S_NMD = S_NMC = 30 (cm2)

    Xét tam giác NMO và MCO có chung đáy MO chiều cao tam giác NMO = 1/6 chiều cao MCO => S_NMO = 1/6 S_MCO

    Vậy diện tích NMO là : 30 : (1 + 6) = 30/7 (cm2)

                                                                                                 

    Bài 20:

            Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = MC, trên cạnh CD lấy N sao cho NC = 1/3xDC. Hãy so sánh diện tích hình tam giác AMN với diện tích hình tam giác ADN

                                                                                                      

    AB=a  ; BC=b

    Diện tích hình chữ nhật:   S=a.b

    S_ADN= 2/3a x b : 2 = 1/3 ab = 1/3S

    Ta có:

    S_AMN = (S_AMC + S_ANC) – S_MCN= (MC x AB :2  + NC x AD : 2) – (NC x MC : 2)

    = (1/2b x  a : 2    +  1/3a x b : 2) – (1/3a x 1/2b : 2) 

    =     ¼ S              +       1/6S        -      1/12S 

    = 5/12 S – 1/12 S = 4/12 S = 1/3 S


    Bài 21:

            HCN có diện tích 360 cm2.Tính diện tích HCN với số đo chiều dài và chiều rộng tương ứng là 3/2số đo HCN đã cho

                                                                                                                

    Gọi S=a x b

    S_tăng = 3/2a x 3/2b = 9/4 S

    Diện tích mới:  360 x 9/4 = 810 (cm2)


    Bài 22:

            Cho hình tam giác ABC. Trên AB lấy điểm M sao cho AM = 1/3 AB. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = 1/4 AC. Nối M với C, nối N với B cắt nhau tại O. Hãy so sánh diện tích tam giác BOC và diện tich tam giác ABC.

                                                                                                                 

    Nối A với O. 

    Ta có:  SABN = 1/3 SBNC  nên đường cao kẻ từ A và C xuống NB có tỉ lệ 1/3

    Suy ra  SABO = 1/3 SBOC (chung đáy OB)

    Tương tự:

    SAMC = 1/2SBMC nên dường cao kẻ từ A và B xuống MC có tỉ lệ 1/2

    Suy ra      SAOC = 1/2 SBOC (chung đáy OC)

    Từ đó ta có:  SAOC + SAOB = (1/3+1/2)SBOC = 5/6 SBOC

    SAOC + SAOB  có 5 phần thì SBOC có 6 phần và SABC có (5+6) 11 phần

    Vậy:     AOCB = 6/11 SABC


    Bài 23: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 900 cm2  và cạnh BC = 45 cm. M là một điểm trên AB sao cho MB = 1/3 AB. Từ M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Tính Độ dài đoạn MN.

                                                                                              

    Ta có:

    SCMB = 1/2 SAMC (chung đường cao kẻ từ C, đáy MB=1/2AM)

    =>  SCMB = 300 cm2  

    => Đường cao MI = 300 x 2 : 45 = 13  1/3 (cm)             (hỗn số)

    Hình thang NMBC cho ta SCMB = SCNB = 300 cm2   (chung đáy CB, đường cao bằng đường cao hình thang)

    =>SANB = 900 – 300 = 600 (cm2)

    Mặt khác SNMB = 1/2 SNMA   => SNMB = 600 : 3 = 200 (cm2) 

    Mà tam giác NMB có đáy NM và đường cao bằng đường cao MI.

    Độ dài đoạn MN = 200 x 2 : 13 1/3 = 30 (cm)

    Đáp số:   MN = 30cm

     

    Bài 23:  Có hai tờ giấy hình vuông mà số đo các cạnh hơn kém nhau 8 cm . Đem đặt tờ giấy hình vuông nhỏ nằm trọn trong tờ giấy hình vuông lớn thì phần diện tích còn lại không bị che của tờ giấy lớn là 96 cm2. Tính cạnh mỗi tờ giấy ?

                                                                                             

    Diện tích hình vuông (3)              8 x 8 = 64 (cm2)

    Diện tích hình chữ nhật (1).        (96 – 64) : 2 = 16 (cm2)

    Cạnh hình vuông nhỏ:                 16 : 8 = 2 (cm)

    Cạnh hình vuông lớn:                    2 + 8 = 10 (cm)


    Bài 24:         Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD, hai đường chéo cắt nhau tại O,biết diện tích tam giác AOB bằng 4 cm2, diện tích tam giác BOC bằng 9 cm2. Tính diện tích hình thang ABCD. 

                                                                                             

    Trong hình thang ABCD cho ta: SAOD = SBOC = 9 cm2

    Xét 2 tam giác AOB và AOD có chúng đường cao kẻ từ A nên 2 đáy OB và OD sẽ tỉ lệ với diện tích.

    Suy ra   OB/OD  = 4/9

    Mặt khác, 2 tam giác BOC và DOC có chúng đường cao kẻ từ C nên 2 diện tích sẽ tỉ lệ với 2 đáy.

      OB/OD = 4/9  nên SBOC/SDOC = 4/9

    Diện tích tam giác DOC:      9 : 4 x 9 = 20,25 (cm2)

    Diện tích hình thang ABCD:   4 + 9 + 9 + 20,25 = 42,25 (cm2)


    Bài 25: 

            Người ta đưa cho Mai và Minh mỗi bạn một tờ bìa hình chữ nhật có chu vi là 100cm và có các kích thước như nhau rồi yêu cầu cắt thành 3 hình chữ nhật bằng nhau. Sau khi cắt tổng chu vi các hình chữ nhật của Mai cắt được hơn tổng chu vi các hình chữ nhật của Minh cắt được  là 40cm. Em hãy tính diện tích của tờ bìa ban đầu.

     

    Khi cắt thành 3 hình chữ nhật bằng nhau thì tổng chu vi 3 hình sẽ dài hơn chu vi cũ 4 lần đường cắt.

    Chiều dài hơn chiều rộng:  40 : 4 = 10 (cm)

    Nửa chu vi hình chữ nhật:  100 : 2 = 50 (cm)

    Chiều rộng hình chữ nhật:   (50 – 10) : 2 = 20 (cm)

    Chiều dài hình chữ nhật:   50 – 20 = 30 (cm)

    Diện tích tờ bìa hình chữ nhật:  30 x 20 = 600 (cm2)


    Bài 26:

            Đường kính của một hình tròn tăng 10% thì diện tích hình tròn đó tăng bao nhiêu %?
                                                                              
    Đường kính tăng 10% thì bán kính cũng tăng 10%
    Công thức tính S= r x r x 3,14.

    Bán kính tăng 10% thì:

    S(tăng) = 110%r x 110%r x 3,14 = 121% x r x r x 3,14 = 121%S

    Diện tích tăng: 121% - 100% = 21%.

     
                                                                                
    Bài 27:         Người ta xếp những hình lập phương nhỏ cạnh 1 cm thành 1 hình hộp chữ nhật có kích thước 1,6 dm ; 1,2dm ; 8 cm. Sau đó người ta sơn 6 mặt của hình vừa xếp được . Tính số hình lập phương nhỏ được sơn 1 mặt,  2 mặt.
     
                                                                        
     
    Các hình lập phương sơn 1 mặt không kề bên góc và cạnh (mặt chính)
    Các hình lập phương sơn 2 mặt nằm ở cạnh không là góc.

    Ta có:

    *.2 hình chữ nhật  16 x 12

    2 hình chữ nhật  12 x 8

    2 hình chữ nhật  16 x 8

    Số hình lập phương sơn 1 mặt
    : (16-2)x(12-2)x2 + (12-2)x(8-2)x2 + (16-2)x(8-2)x2 = 568 (hình sơn 1 mặt)
    *.4 cạnh 16cm

    4 cạnh 12cm

    4 cạnh 8cm

    Số hình lập phương sơn 2 mặt:
     (16-2)x4 + (12-2)x4 + (8-2)x4 = 120 (hình sơn 2 mặt) 

    Bài 28:         Cho hình tam giác ABC có điểm N là điểm chính giữa cạnh AC . Trên hình đó có hình thangBMNE. Nối B với N, nối E với M, hai đoạn thẳng này gặp nhau tại điểm O 

    a/ So sánh diện tích 2 hình tam giác OMB và OEN

    b/ So sánh diện tích hình tam giác EMC với diện tích hình AEMB   

                            ( Đề thi HSG toàn quốc 1984 - 1985 )

                                                        

    (Chưa biết 2 điểm M và E của hình thang BMNE)

    Điểm E nằm trên đoạn AN , điểm M nằm trên BC, BE là đáy lớn MN là đáy bé, BN và ME là 2 đường chéo hình thang.

    a).

    BMNE là hình thang nên SMBE=SNBE (có chúng đáy BE, đường cao bằng đường cao hình thang), 2 tam giác này có phần chung là OBE nên SOMB=SOEN

    b).

    Do AN=NC nên SABN=SCBN

    S_EMC=S_CBN – S_OMB + S_OEN  mà S_OMB = S_OEN       (cm trên)

    Suy ra:  S_EMC=S_CBN

    Tương tự:

    S_AEMB=S_ABN – S_OEN + S_OMB mà S_OEN = S_OMB       (cm trên)

    Suy ra:  S_AEMB=S_ABN

    Ta đã có SABN=SCBN

    Vậy:  S_EMC=S_AEMB    (điều phải chứng minh)

                b).Nhanh hơn

    Do AN=NC nên SABN=SCBN= 1/2 SABC

    S_EMC=S_CBN – S_OMB + S_OEN  mà S_OMB = S_OEN       (cm trên)

    Suy ra:  S_EMC=S_CBN = 1/2SABC

    Vậy:  S_EMC=S_AEMB    (điều phải chứng minh)


    Bài 29:  

            1).Cho tam giác ABC có diện tích 600cm2. D là trung điểm cạnh BC. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3 AC. AD cắt BE tại M. Tính diện tích tam giác AME.

                                                                                                

    Ta có:

    -S_ABD=S_ACD  (có CD=BD, đường cao chúng từ A và có chúng đáy AD nên 2 đường cao kẻ từ B và C bằng nhau)

    -AE=1/3AC hay AE=1/2EC

    -S_ABE=1/2S_CBE (AE=1/2EC, đường cao chung từ B và có chung đáy EB nên đường cao từ C gấp 2 lần đường cao từ A).

    Nên:

    S_ABM=S_ACM  (chung đáy AM, 2 đường cao bằng nhau –cmt-) (1)

    S_CMD=S_BMD  (chung đáy MD, 2 đường cao bằng nhau –cmt-)  (2)

    S_MBC=2S_MBA (chung đáy MB, cao từ C gấp 2 lần cao từ A)     (3)

    Từ (1), (2) và (3) cho ta:

    S_ABM=S_ACM = S_CMD=S_BMD = 600 : 4 = 150 (cm2)

    Mà: 

    S_ABE=1/3S_ABC= 600:3 = 200 (cm2)                             

    S_AME = S_ABE-SABM = 200-150= 50 (cm2)

    Bài 30:

            Cho tam giác ABC. Điểm M trên AC sao cho AM = 1/4 AC. Điểm N trên BC sao cho diện tích tam giác MCN bằng diện tích tứ giác AMNB. Tính tỉ số giữa BN và BC?

                                                                                              
    Chọn điểm N trên BC và giả sử S_MCN=S_AMNB.
    Nối AN.

    Do AM=1/4AC hay AM=1/3MC

    Ta có:  S_MNC=3S_AMN   (MC=3AM, chung đường cao từ N)

    Để S_AMNB=SMNC thì S_ANB=(3-1)S_AMN=2S_AMN

    Diện tích ABC có 3+1+2=6 (phần) thì S_ANB có 2 phần hay S_ANB=1/3S_ABC.
     
    Suy ra:  BN=1/3BC

    Bài 31: .

            Có hai tấm kính hình chữ nhật. Chiều rộng của mỗi tấm kính bằng 1/2 chiều dài của nó và chiều dài của tấm kính nhỏ đúng bằng chiều rộng của tấm kính to. Ghép hai tấm kính sát vào nhau và đặt lên bàn có diện tích 90 dm2 thì vừa khít. Hãy tính kích thước của mỗi tấm kính đó.
                                                                                                      
    dùng phương pháp ghép hình ta có :
    Nếu gọi chiều rộng tấm kính nhỏ là một phần thì chiều dài tấm kính nhỏ ( cũng là chiều rộng tấm kính lớn ) là hai phần và chiều dài tấm kính lớn là bốn phần bằng nhau.

    Ghép 2 tấm kính lại ( như đề bài ) ta được một hình chữ nhật có chiều dài là 5 phần và chiều rộng là 2 phần.

    Ta chia hình chữ nhật vừa ghép này thành 10 hình vuông nhỏ bằng nhau mỗi hình vuông nhỏ có cạnh là 1 phần .

    Diện tích 1 hình vuông nhỏ là :  90 : 10 = 9 dm2

    Cạnh mỗi hình vuông nhỏ là 3 dm2 ( 3 x 3 = 9 ) ; Cũng là chiều rộng tấm kính nhỏ.

    Chiều dài tấm kính nhỏ , hay chiều rộng tấm kính lớn :  3 x 2 = 6 dm

    Chiều dài tấm kính lớn :  6 x 2 = 12 dm

    Đáp số : Tấm kính nhỏ : 3dm và 6 dm

                 Tấm kính lớn  : 6dm và 12 dm

    Bài 32:
        Quãng đường AB dài 96km. Cùng một lúc, xe ô tô đi từ A và xe gắn máy đi từ B, chạy ngược chiều, gặp nhau cách A là 64km. Nếu xe gắn máy đi trước 45 phút thì hai xe gặp nhau cách A 52km. Tính vận tốc mỗi xe.

                                                                                                      

    45’ = 3/4 giờ

    Nếu khởi hành cùng lúc gặp nhau cách B: 96-64= 32 (km)

    Tỉ số vận tốc của xe ô tô và xe máy:   64/32 = 2  (vận tốc xe ô tô 2 lần vận tốc xe máy).

    Xe máy đi trước 45’ thì đến C, 2 xe gặp nhau ở K.

    Đoạn KC dài:  52 : 2 = 26 (km)

    45’ xe máy chạy được:  96 – (52+26) = 18 (km)

    Vận tốc xe máy: 18 : 3 x 4 = 24 (km/giờ)

    Vận tốc ô tô:   24 x 2 = 48 (km/giờ)

    Đáp số:  24 km/giờ  48 km/giờ
     

                                                                                                
    Bài 33:
    Một tờ giấy hình vuông có diện tích là 72 cm2 thì đường chéo của tờ giấy đó dài bao nhiêu?



    Cắt và ghép thành 2 hình vuông nhỏ, mỗi hình có diện tích:
    72 : 2 = 36 (cm2)

    Vì 36 = 6 x 6 nên cạnh hình vuông nhỏ bằng 6cm.

    Cạnh hình vuông nhỏ bằng ½ đường chéo hình vuông lớn.

    Đường chéo hình vuông lớn là:

    6 x 2 = 12 (cm)
     
    Đáp số:  12 cm

    Bài 34:
    Hình vuông ABCD và hình chữ nhật MNPQ có chu vi bằng nhau.
    Hãy so sánh cạnh hình vuông và cạnh của hình chữ nhật. Hãy so sánh diện tích hình vuông và diện tích hình chữ nhật.


    Chu
     vi:
    Do chu vi 2 hình bằng nhau nên nửa chu vi 2 hình cũng bằng nhau.

    Gọi a là cạnh hình vuông; b và c là cạnh hình chữ nhật.

    Ta có  a+a = b+c     =>   (a+a)/2 = (b+c)/2

    Hay 
    a = (b+c)/2
    a là trung bình cộng của b và c.


    Diện tích:
    Giả sử cạnh hình vuông là 10m thì cạnh hình chữ nhật có thể là: 11 và 9; 12 và 8; …

    Diện tích hình vuông là:  10 x 10 = 
    100 (m2)
    Diện tích hình chữ nhật có thể là:

    *. 11 x 9 = 
    99 (m2)
    *. 12 x 8 = 
    96 (m2)
    …………………

    Cạnh hình chữ nhật có độ lệch với cạnh hình vuông càng lớn thì diện tích càng giảm (giảm về đến 0 nếu cạnh hình chữ nhật là 20 và 0. 
    Không còn là hình chữ nhật)

    Đến đây xin nói thêm
    :
    Nếu chu vi các hình bằng nhau thì diện tích hình tròn lớn nhất.

    Chu
     vi hình tròn là 40m thì bán kính là:
    40 : 3,14 : 2 = 6,369427 (m)

    Diện tích hình tròn:

    6,369 x 6,369 x 3,14 = 
    127,3714… (m2) 
    Avatar
    Bài 35:
        Một miếng đất hình chữ nhật nếu bớt chiều dài 8m.Chiều rộng tăng 5m ta được miếng đất hình vuông Diện tích hình vuông ít hơn diện tích hình chữ nhật 122m .Tính diện tích hình chữ nhật lúc đầu ?

    Chiều dài hơn chiều rộng:   8 + 5 = 13 (m)

    SOBCK = SMNOA + 122

    =>  SNPCK = SMNOA + 122 + 8x5

                       
    = SMNOA + 162

    Mà NPCK và MNOA có MN = NK (cạnh hình vuông)

    và NP hơn NO là :  8 – 5 = 3 (m)

    Cạnh hình vuông:          162 : 3 = 54 (m)

    Chiều dài hình chữ nhật:     54 + 8 = 62 (m)

    Chiều rộng hình chữ nhật:   54 – 3 = 51 (m)

    Diện tích hình chữ nhật:     62 x 51 = 3162 (m2)

    Đáp số:    
    3162 m2
    .
     
    Bài 36:

        Một mảnh đất hình chữ nhật có 
    chiều dài là 8m. Người ta chia mảnh đất làm 2 phần, một phần để làm vườn, một phần để đào ao nuôi cá. Diện tích phần đất làm vườn bằng 1/2 mảnh đất. Chu vi phần đất làm vườn bằng 2/3 chu vi mảnh đất. Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật.

    Chu
     vi vườn bằng 2/3 chu vi mảnh đất thì nửa chu vi vườn cũng bằng 2/3 nửa chu vi mảnh đất. Gọi chiều dài miếng đất là a = 8m, chiều rộng là b (b>0 và b<8).

    *.Trường hợp 1:

    Nếu mỗi cạnh vườn bằng 2/3 cạnh của miếng đất thì chu vi cũng bằng 2/3 chu vi miếng đất nhưng diện tích sẽ bằng 2/3 x 2/3 = 4/9 diện tích miếng đất.  
    (loại)

    *.Trường hợp 2:

    Cắt 2 miếng đất theo chiều dài để có diện tích bằng ½ diện tích miếng đất thì:
    Pđất/2   = 8 + b            
    (P là chu vi)
    Pvườn/2 = 8 + b/2

    Mà:   8 + b/2 = 2/3 (8 + b) = 16/3 + 2/3b

    =>   b/6 = 8 – 16/3 = 8/3

    =>   
    b = 8/3 x 6 = 16
    b=16 > 8 
    (8m là chiều dài)         (loại)

    *.Trường hợp 3:

    Cắt 2 miếng đất theo chiều rộng thì:
    Pđất/2   = 8 + b

    Pvườn/2 = 8/2 + b

    Mà:   8/2 + b = 2/3 (8 + b) = 16/3 + 2/3b

    =>   b/3 = 16/3 – 4 = 4/3

    =>   
    b = 4/3 x 3 = 4
    Diện tích mảnh đất: 8 x 4 = 32 (m2)
     
    Đáp số : 32 (m2)

    Bài 37

        Cho tam giác ABC.
    D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = 2/3 DC.
    M và E là hai điểm trên đoạn thẳng AD sao cho AM = ME = ED.
    a) Em hãy tìm trên hình vẽ những tam giác có diện tích bằng nhau ? Giải thích tại sao ?
    b) Kéo dài BE cắt ở AC ở N. Cho biết diện tích tam giác BED = 4 cm2 .Hãy tính diện tích các tam giác DEC và ABC; rồi so sánh độ dài các đoạn thẳng AN và CN.
    a)Các tam giác có diện tích bằng nhau:
    BED, BME, BAM  (cạnh đáy ED=ME=AM, chung đường cao kẻ từ B)

    BAE, BMD       (cạnh đáy AE=MC=2AM, chung đường cao kẻ từ B).


    b)Hai tam giác EBD và DEC có BD=2/3DC chung đường cao kẻ từ E.

    Nên SEBD = 2/3 SECD    =>    
    SDEC = 4 : 2 x 3 = 6 (cm2)
    *.Theo đề bài ta có AD = ED x 3  (AM=ME=ED)

    2 tam giác ABD và EBD có: AD = ED x 3, chung đường cao kẻ từ B.

    Nên SABD = SEBD x 3 = 4 x 3 = 12 (cm2)

    Mà BD= 2/3 DC hay BD = 2/5 BC

    Vậy 
    SABC = SABD : 2 x 5 = 12 : 2 x 5 = 30 (cm2)
    *.SAEC = SABC – SABD – SEDC = 30 – 12 – 6 = 12 (cm2)

    Xét 2 tam giác ABE (Dt=4+4=8 cm2)  và CBE (Dt= 4+6=10cm2). Có:

    Chung đáy BE nên đường cao kẻ từ B và từ C xuống BE có tỉ lệ  8/10 (4/5).

    Diện tích AEN = 12 : (4+5) x 4 =  16/3 (cm2)

    Diện tích ACN = 12 : (4+5) x 5 =  20/3 (cm2)

    2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ E nên 2 đáy tỉ lệ với 2 diện tích

    Tỉ lệ của AN  NC
       16/3 : 20/3 = 16/20 = 4/5 

    Bài 38:

        Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC ;N là trung điểm của AC , Kẻ AM và BN cắt nhau tại O . Chứng minh rằng OA  = 2 x OM
                                                                            Vi Hoang Van

    SABN = SCBN  (có AN=NC, chung đường cao kẻ từ B)
    Nếu xemNB là cạnh đáy thì 2 đường cao từ A và C xuống NB bằng nhau. Hai đường cao này chính là 2 đường cao của 2 tam giác AOB và COB có chung đáy OB.

    Suy ra: SAOB = SCOB.

    Mà SOBM = SOMC = ½ SOBC = ½ SAOB  (CM=MB, chung đường cao từ O).

    Suy ra: SAOB = SOBM x 2.

    2 tam giác AOB và MOB có chung đường cao kẻ từ B. Nên 2 đáy OA và OM tỉ lệ với diện tích.

    OA = OM x 2
     

    Bài 39:

        Tăng độ dài cạnh một hình vuông thêm 4cm thì diện tích hình vuông tăng thêm 664cm2. Tìm diện tích hình vuông đó.

    Diện tích hình vuông nhỏ ở góc:
    4 x 4 = 16 (cm2)

    Diện tích 1 hình chữ nhật.

    (664 – 16) : 2 = 324 (cm2)

    Cạnh hình vuông ban đầu:

    324 : 4 = 81 (cm)

    Diện tích hình vuông ban đầu:

    81 x 81 = 6561 (cm2)

    Đap số:  
    6561 cm2. 

    Bài 40:

        Cho hình tam giác ABC có diện tích 12 cm2, cạnh đáy BC = 6 cm. N là trung điểm cạnh AC. Từ N kẻ song song với BC cắt AB tại M. Tính:
        a)Độ dài đoạn thẳng MN.
        b)Diện tích hình thang NMBC.

    (Tính đường cao từ A của tam giác ABC. Nối NB, dựa vào AN=NC, tính được SABN=SCBN , tính được SCBN ; tính được đường cao kẻ từ N xuống CB. Suy ra đường cao từ A xuống NM. SNBC=SMBC =1/2 SABC. => SAMC=1/2SABC (6cm2).  SAMN=SCMN (6:2=3 (cm2)). Tính được MN là cạnh đáy của tam giác AMN. Hình thang NMBC đã biết được NM; CB và chiều cao nên tính được diện tích.)

    Đường cao kẻ từ A xuống BC:   12 x 2 : 6 = 4 (cm)
    SABN = SNBC = SABC : 2 = 12 : 2 = 6 (cm2)      (AN=NC, chung đường cao kẻ từ B)

    Đường cao kẻ từ N xuống BC:    6 x 2 : 6 = 2 (cm)

    Đường cao kẻ từ A xuống NM:   4 – 2 = 2 (cm)

    Ta lại có:  SMBC = SNBC = 6 (cm2)       (Chúng đáy BC, bằng đường cao hình thang).

    =>SAMC = SMBC = 6 (cm2)      (12 – 6 = 6 (cm2))

    =>SAMN = SNMC = 6 : 2 = 3 (cm2)

    Cạnh đáy MN của tam giác AMN:

    3 x 2 : 2 = 3 (cm)

    Diện tích hình thang NMBC:

    (6 + 3) x 4 : 2 = 9 (cm2)
                     (hoặc  12 - 3 = 9 (cm2))
    Đáp số:   9 cm2 

    Bài 41:

        Giảm chiều dài 1 hình chữ nhật 5m tăng chiều rộng lên 5m thì được 1 hình vuông có diện tích lớn hơn diện tích hình chữ nhật 25m2.Tìm diện tích hình chữ nhật ban đầu?

    Dài hơn rộng:  5 + 5 = 10 (m)
    Gọi a dài, b rộng =>  a = b+10

    DT ban đầu

    S = a x b = (b+10) x b

       
    = b.b + 10b

    DT đã thay đổi:

    Sđổi = (a-5) x (b+5)

           
    = (b+5) x (b+5)

           
    =  b.b + 5b + 5b + 25

      
         = b.b + 10b + 25

    Hiệu diện tích khi đã thay đổi và ban đầu:

    (b.b + 10b + 25) – (b.b + 10b) = 25 (m2)


    Với mọi a; b ta đều có diện tích sau khi thay đổi số đo như đề bài đều lớn hơn 25 m2.

    (dùng dấu chấm(.) thay dấu nhân (x) cho dễ nhìn một chút)
    . 

    Bài 42:

        Một hình chữ nhật có chu vi 60m. Nếu giảm chiều dài  hình chữ nhật 5m và tăng chiều rộng lên 5m thì được một  hình vuông. Tìm diện tích hình chữ nhật?

     
                                                   Lê Dõng

    Nửa chu vi hình chữ nhật là:

    60 : 2 = 30 (m)

    Chiều dài hơn chiều rộng là:

    5 + 5 = 10 (m)

    Chiều rộng hình chữ nhật là:

    (30 – 10) : 2 = 10 (m)

    Chiều dài hình chữ nhật là:

    30 – 10 = 20 (m)

    Diện tích hình chữ nhật là:

    20 x 10 = 200 (m2)

    Đáp số:   200 m2.
     


    Bài 43:
        Cho tam giác ABC có BC = 9 cm. Gọi D là điểm chính giữa cạnh AC, kéo dài cạnh AB một đoạn BE = AB. Nối D với E, đoạn DE cắt đoạn BC tại G
    a-So sánh diện tích các tam giác GBE, GBA, GAD, GDC

    b.Tính độ dài đoạn BG

                                                     Vũ Hương

    a) Nối CE.
    SGBE=SGBA. Vì có AB=BE chung đường cao kẻ từ G.

    SGAD=SGDC.   Vì có CD=DA chung đường cao kẻ từ G.

    Ta cũng có:

    SABC=SEBC  =>  SGAC=SGEC     (1)

    SDAE=SDCE  =>  SGAE=SGEC     (2)

    Từ (1) và (2) ta được:   SGAE=SGCA

    Vậy:        SGBE=SGBA= SGAD=SGDC

    b)

    Hai tam giác ABC và ABG coa chung đường có kẻ từ A nên 2 cạnh đáy CB và GB sẽ tỉ lệ với diện tích.

    Từ kết quả câu a.

    Suy ra:  SABC = SAGB x 3

    Vậy:  CB = GB x 3

    GB = 9 : 3 = 3 (cm)
     

    Bài 44:

            Tý có một tấm bìa hình vuông, tý cắt tấm bìa thành hai hình chữ nhật không bằng nhau, chu vi của hai hình chữ nhật là 150cm. Tính diện tích tấm bìa hình vuông

                                                                            Nguyễn Thị Ha
    Chu vi 2 hình chữ nhật bằng 6 lần cạnh hình vuông.
    Cạnh hình vuông:  150 : 6 = 25 (cm)

    Diện tích tấm bìa:      25 x 25 = 625 (cm2)

    Đáp số:  625 cm2
     

    Bài 45:
    Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho BE gấp đôi AE; trên cạnh AC ta lấy điểm D sao cho CD gấp đôi AD. Nối E với D ta được hình tam giác AED có diện tích 5 cm2. Hãy tính diện tích hình tứ giác BCDE.

    Ta có DC=AD x 2
    Nên SDCE= 5 x 2 = 10 (cm2)  (đáy DC=2AD và chung đường cao kẻ từ A).

    SACE = 5 + 10 = 15 (cm2)

    Ta lại có EB = EA x 2

    Nên SECB = SACE x 2 = 15 x 2 = 30 (cm2)

    SBCDE = SDEC+ SECB = 10 + 30 = 40 (cm2)
     
     
    Bài 46:
            Cho tam giác ABC trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 2/3 AB, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD= 1/3 AC

    a. Nối B với D . Tính tỷ số diện tích hai tam giác ABD và ABC

    b. Nối E với D .Biết diện tích tam giác AED là 8 cm2 . Tính diện tích tam giác ABC

    c. Nối C với E cắt BD tại G. Tính tỷ số độ dài hai đoạn thẳng EG và CG
                                                                   a).Do AD = 1/3 AC nên SABD = 1/3SABC.
    Vì 2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ B

    b).Tương tự ta có SAED= 1/3SAEC

    Nên SAEC = 8 x 3 = 24 (cm2)

    Mà AE = 2/3AB và 2 tam giác AEC và EBC có chung đường cao kẻ từ C.

    Nên SAEC = 2/3SABC

    Diện tích tam giác ABC:  24 : 2 x 3 = 36 (cm2)

    c).

    SEBD= 1/3 SABD = 1/3.1/3SABC = 4 (cm2)

    SEBC = 12 (cm2)    ……………………….(1/3 của SABC)

    SDEC = 2/3.24 =  16 (cm2)     …………….(2/3 của SAEC)

    2 tam giác BCE và DCE có chung cạnh đáy CE nên 2 đường cao tỉ lệ với diện tích.

    Tỉ số:      Bh/Dk = 12/16 = 3/4

    Tương tự ta có: SEBG / SDEG = 3/4

    Suy ra  SDEG = 4 : (4+3) x 4 = 16/7 (cm2)

    SDCG = SDEC – SDEG = 16 – 16/7 = 96/7 (cm2)

    Tỉ số của EG và CG là tỉ số của SDEG và SDCG

    (16/7) / (96/7) =  16/96 = 1/6
     
    Bài 47:
            Cho tam giác ABC điểm N nằm trên AC điểm M nằm trên BC sao cho AM cắt BN tại O diện tích các tam giác ANO = 2cm2 , ABO = 6cm2 , BMO = 4cm2 Tính diện tích tam giác ABC?

    SABO = 3SAON   ( vì 6:2=3)  ==>   BO = 3ON  (chung đường cao kẻ từ A).
    ==> SOMN = 1/3SOBM = 1/3 x 4 = 4/3 (cm2)    (chung đường cao kẻ từ M)

    Xét 2 tam giác ABN và AMN có chung đáy AN nên Bk và Mh tỉ lệ với diện tích.

    Bk/Mh = (6+2)/(2+4/3) = 8/(10/3) = 24/10

    Hai tam giác ABC và AMC có chung đáy AC nên diện tích tỉ lệ với đường cao.

    SABC/SAMC = 24/10                                         |

    SABC - SAMC = SABM = 6+4 = 10 (cm2)             |  
    Hiệu và Tỉ

    Hiệu số phần bằng nhau:  24 - 10 = 14 (phần)

    Diện tích tam giác ABC:   10:14x24 = 17,14286 (cm2)
     

    Bài 48:

            Có một miếng đất hình thang. Hùng ước lượng đáy lớn bằng 32m, Dũng ước lượng đáy lớn bằng 37m và cả hai đều ước lượng sai. Nếu ước lượng như Hùng thì diện tích miếng đất giảm 36m2, còn nếu ước lượng như Dũng thì tăng 24m2. Hỏi đáy lớn của miếng đất dài bao nhiêu m?

     
                                                   
    (Ai TM hơn HS L5)
    Ước lượng về đáy lớn ở hai bạn lệch nhau:  37 - 32 = 5 (m)

    Từ sai lêch về đấy lớn giữa hai bạn nên diện tích cũng lệch theo:  36 + 24 = 60 (m2)

    Chiều cao hình thang:  60 x 2 : 5 = 24 (m)

    Theo Hùng thì đáy lớn còn thiếu:    36 x 2 : 24 = 3 (m)

    Độ dài của đáy lớn miếng đât:   32 + 3 = 35 (m)

    Đáp số:   35m
     

    Bài 49:
            Cho tam giác ABC .Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1/3 AB.Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN bằng 1/3 AC.Nối B với N, nối C với M; BN cắt CM tại I.

    Tính diện tícg tam giác ABC, biết diện tích tứ giác AMIN bằng 90cm2.

     

    SABN = SACM (bằng 1/3 SABC)

    Mà 2 tam giác này có phần chung AMIN nên SMBI = SNIC.

    Nối AI ta có:  SABI = 3/2 SMBI (AB = 3/2MB).

    Tương tự:  SAIC = 3/2 SNIC

    Suy ra  SABI = SAIC  ==> SAMI = SAIN = 90/2 = 45 (cm2)

    Vậy SMBI = 45 x 2 = 90 (cm2)

    ==> SABN = SMBI + SAMIN = 90+90 = 180 (cm2)

    Do đó: SABC = 180 x 3 = 540 (cm2)


    Bài 50:

            Cho hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của cạnh AD. Đoạn thẳng AC cắt BM tại N.

    a, Diện tích tam giác BMC gấp mấy lần Diện tích tam giác AMB?

    b, Diện tích tam giác BNC gấp mấy lần diện tích tam giác ANB ? Tính diện tích hình vuông ABCD biết diện tích tam giác ANB bằng 1,5 dm2.­­

    a/

    2 tam giác BMC và AMB có đáy BC=2AM, 2 đường cao kẻ từ B xuống AM và từ M xuống BC bằng nhau bằng cạnh hình vuông. Nên SBMC = 2 SAMB.

    b/

    Tương tự như trên. Ta có SABC = 2SAMC

    Suy ra: BH = 2 MK (cũng là 2 đường cao của 2 tam giác BNC và MNC có chung đáy NC)

    Nên SBNC = 2SMNC   (1)

    Mà SMNC = SANB     (2)                 (do SABM = SACM và 2 tam giác này có phần chung là SANM)

    Từ (1) và (2). Ta được:   SBNC = 2 SBNA.

    SABC = SABN + SBNC = 1,5 + 1,5 x 2 = 4,5 (dm2)

    Diện tích hình vuông ABC:   4,5 x 2 = 9 (dm2) 

    Bài 51

             Một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 2,7m, chiều rộng 2m. Hiện bể đang chứa 6480 lít nước thì mực nước trong bể bằng 3/4 chiều cao của bể. Tính chiều cao của bể biết 1 lít = 1 dm3


    Diện tích đáy bể HHCN: 2,7  x  2  =  5,4 (m2) 
    Đổi: 6480 lít = 6480 dm3 = 6,48 m3.

    Chiều cao mực nước trong bể:  6,48  :  5,4  = 1,2 (m)

    Chiều cao của bể : 1,2  : 3 x 4 = 1,6 (m)

    Đáp số: 1,6m

    Bài 52:

            Trên 1 đường tròn ta lấy 10 điểm, nối 2 điểm không liền kề với nhau thì ta được 1 đoạn thẳng. Hỏi từ 10 điểm trên ta nối được bao nhiêu đoạn thẳng?

    - Mỗi điểm bất kì sẽ nối với 10 -  3 = 7 điểm còn lại.

    - Có 10 điểm sẽ nối được số đoạn thẳng là: 7 x 10 : 2 = 35 đoạn thẳng.

    Đáp số: 35 đoạn

    Bài 53:

            Người ta ngăn thửa đất hình chữ nhật thành 2 mảnh, một mảnh hình vuông, một mảnh hình chữ nhật. Biết chu vi ban đầu hơn chu vi mảnh đất hình vuông là 28 m. Diện tích của thửa đất ban đầu hơn diện tích hình vuông là 224 m2. Tính diện tích thửa đất ban đầu.

    Nửa chu vi hình ABCD hơn nửa chu vi hình AMND là :          28 : 2 = 14 (m).

    Nửa chu vi hình ABCD là AD + AB.

    Nửa chu vi hình AMND là AD + AM.

    Do đó : MB = AB - AM = 14 (m).

    Chiều rộng BC của hình ABCD là :       224 : 14 = 16 (m)

    Chiều dài AB của hình ABCD là :        16 + 14 = 30 (m)

    Diện tích hình ABCD là :       30 x 16 = 480 (m2).

    Đáp số:  480 m2.

    Bài 54:

            Cho hình thang ABCD, có BC=5cm. Trên BC lấy 1 điểm E sao cho  BE = 1cm. Tính tỷ số độ dài hai cạnh đáy CD và AB, biết diện tích của tam giác ABE bang 1/6 diện tích tư giác AECD.

    * Ta có: S_ABE = 1/4 S_ACE (Đáy BE = 1/4 đáy CE; Chiều cao đỉnh A chung).

    Để S_ABE = 1/6 S_ADCE. Nếu coi S_ABE bằng 1 phần diện tích thì S_ADC = 2 phần diện tích.

    => S_ABC = 5 phần diện tích.

    => S_ADC = 2/5 S_ABC

    Hai tam giác này có chiều cao bằng nhau nên đáy DC = 2/5 AB

    Đáp số: CD = 2/5 AB

    Bài 55:

            Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 45 m thì được hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu. 

    Khi tăng chiều rộng thêm 45 m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật mới, còn chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều rộng của hình chữ nhật mới. 

    Theo đề bài ta có sơ đồ :

    Do đó 45 m ứng với số phần là :
    16 - 1 = 15 (phần)
    Chiều rộng ban đầu là :
    45 : 15 = 3 (m)
    Chiều dài ban đầu là : 3 x 4 = 12 (m)
    Diện tích hình chữ nhật ban đầu là :
        3 x 12 = 36 (m2)

    Đáp số: 36 m2.

    (ToantieuhocPL)

    Avatar
    Bài 56:
            Cho hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của cạnh AD. Đoạn thẳng AC cắt BM tại N.
    a, Diện tích tam giác BMC gấp mấy lần Diện tích tam giác AMB?
    b, Diện tích tam giác BNC gấp mấy lần diện tích tam giác ANB ? 
    Tính diện tích hình vuông ABCD biết diện tích tam giác ANB bằng 1,5 dm­­2.
    a/.Hai tam giác BMC và AMB có cạnh đáy BC = 2.AM, có 2 đường cao tương ứng bằng nhau (từ B  xuống AM và từ M xuống BC (cạnh hình vuông)).
    Nên SBMC = 2.SAMB .

    b/.Từ SBMC = 2.SAMB và 2 tam giác này có chung đáy MB. Nên đường cao kẻ từ C xuống MB gấp 2 lần đường cao kẻ từ A xuống MB.

    Hai đường cao của 2 tam giác này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác CNB và ANB. Mặt khác 2 tam giác CNB và ANB có chung cạnh đáy NB.

    Nên SBNC = 2.SANB.

    SBNC = 1,5 x 2 = 3 (dm2)

    SABC = 1,5 + 3 = 4,5 (dm2)

    Diện tích hình vuông ABCD:   4,5 x 2 = 9 (dm2)
     

    Bài 57
    :
            Một hình chữ nhật, nếu tăng chiều rộng để bằng chiều dài của nó thì diện tích tăng thêm 20m2, còn khi giảm chiều dài cho bằng chiều rộng thì diện tích giảm 16m2. Tính diện tích của hình chữ nhật

    Hình chữ nhật ban đầu là ABCD.
    Theo đề bài ta có:

    MD=DC chiều dài hình chữ nhật

    BC=ME chiều rộng hình chữ nhật (cạnh hình vuông nhỏ)

    MA=KB hiệu của chiều dài và chiều rộng

    Suy ra: SMEKA=SKBCP=16m2

    SENBK=20-16=4(m2)

    Cạnh hình vuông ENBK là 2m (2x2=4)

    Chiều rộng hình chữ nhật: 16 : 2 = 8 (m)

    Chiều dài hình chữ nhật:  8 + 2 = 10 (m)

    Diện tích hình chữ nhật:   10 x 8 = 80 (m2)

    Đáp số:   80 m2.
     

    Bài 58
    :
            Một hình chữ nhật có tổng chiều dài và chiều rộng gấp 5 lần hiệu chiều dài và chiều rộng. Diện tích của hình chữ nhật là 600m2. Tính chiều dài, chiều rộng?


                
    Xem hiệu của 2 cạnh là 1 phần, ta có sơ đồ:


    Hiệu 2 cạnh:
                |-----|
    Tổng 2 cạnh:
                |-----|-----|-----|-----|-----|
               Chiều dài hình chữ nhật là: ( 1+ 5) : 2 = 3 ( phần).

     
               Chiều rộng nhật là: 5 – 3 = 2 (phần).

    Ta có hình vẽ:

    Số hình vuông có là: 2 x 3 = 6 (hình).
    Diện tích một hình vuông là: 600 : 6 = 100 (m2).

    Cạnh hình vuông là 10 m (10 x 10 = 100).

    Chiều dài hình chữ nhật là 10 x 3 = 30 (m).

    Chiều rộng hình chữ nhật là 10 x 2 = 30 (m).

    Chu vi hình chữ nhật là: (30 + 20) x 2 = 100 (m).

                                                    
    Đáp số: 100m
     

    Bài 59:

            Cho hình chữ nhật có chu vi 142m. Nếu giảm chiều dài 15m và tăng chiều rộng 15m thì diện tích không đổi. Tính diện tích hình chữ nhật đó ?

    Khi giảm chiều dài 15m và tăng chiều rộng 15m thì diện tích không đổi, lúc này chiều rộng trở thành chiều dài mới và chiều dài lại trở thành chiều rộng mới. Như vậy chiều dài hơn chiều rộng 15m.
    Nửa chu vi hình chữ nhật:  142 : 2 = 71 (m)

    Chiều rộng là:   (71 – 15) : 2 = 28 (m)

    Chiều dài là:     71 – 28 = 43 (m)

    Diện tích hình chữ nhật là:  43 x 28 = 1204 (m2)

    Đáp số:    1204 m2.
     


    Bài 60:
    Lớp 5A và lớp 5B nhận chăm sóc hai thửa ruộng có diện tích tổng cộng là 1560 m2. Nếu lấy ¼ diện tích thửa ruộng của lớp 5A chuyển sang cho lớp 5B chăm sóc thì diện tích chăm sóc của hai lớp bằng nhau.
                        Tính diện tích của mỗi thửa ruộng.


    Phân số chỉ diện tích thửa ruộng lớp 5A còn lại:

    1 – ¼ = ¾ (ruộng 5A)

    ¾ diện tích thửa ruộng lớp 5A là:

    1560 : 2 = 780 (m2)

    Diện tích thửa ruộng lớp 5A là:

    780 : 3 x 4 = 1040 (m2)

    Diện tích thửa ruộng lớp 5B là:

    1560 – 1040 = 520 (m2)

    Đáp số:    5A   1040 m2  ;   5B  520 m2.
     

    Bài 61:
            Cho 8 điểm nằm trên một đường tròn số tam giác được tạo thành có các đỉnh nằm trên 8 điểm thuộc đường tròn là ………….

    Trước tiên ta lấy điểm A làm chuẩn, sẽ có các tam giác: ABC;ABD;ABE;ABF;ABG;ABH (6)
    Đến AC, ta có:  ACD;ACE;ACF;ACG;ACH (5)

    Đến AD, ta có:  ADE;ADF;ADG;ADH (4)

    Đến AE, ta có:  AEF;AEG;AEH (3)

    Đến AF, ta có:  AFG;AFH (2)

    Đến AG, ta có:  AGH (1)

    Ta có:    1+2+3+4+5+6 = 21 (hình tam giác) có đình từ 8 điểm trên 1 đường tròn.

    Tương tự, ta lấy:

    *.B làm chuẩn, lúc này không kể điểm A.Ta có: 5+4+3+2+1 = 15 (tam giác)

    *.C làm chuẩn, ta không kể đến A; và B: Có  4+3+2+1=10 (tam giác)

    *.D làm chuẩn, ta không kể đến A; B và C: Có  3+2+1=6 (tam giác)

    *.E làm chuẩn, ta không kể ………………: Có  2+1= 3 (tam giác)

    *.F làm chuẩn, ta không kể………………:    1 (tam giác)

    Tất cả các tam giác là:  1+3+6+10+15+21= 56 (tam giác)
     

    Bài 62:

            Cắt 1 miếng bìa hình vuông thành 2 miếng bìa hình chữ nhật.Biết tổng chu vi 2 miếng bìa hình chữ nhật đó là 192cm và hiệu chu vi bằng 16cm.Tính diên tích miếng bìa hình chữ nhật lớn


    Tổng chu vi 2 hình chữ nhật bằng 6 lần cạnh hình vuông (do lằn cắt tạo thêm 2 cạnh hình vuông)
    Cạnh hình vuông cũng là tổng 2 chiều rộng của 2 hình chữ nhật là:

    192 : 6 = 32 (cm)

    Chiều rộng hình chữ nhật lớn hơn chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là:

    16 : 2 = 8 (cm)

    Chiều rộng hình chữ nhật lớn là:

    (32 + 8) : 2 = 20 (cm)

    Diện tích hình chữ nhật lớn là:

    32 x 20 = 640 (cm2)

    Đáp số:  640 cm2.
     


    Bài 63:

            Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 0,450 km. Biết chiều rộng bằng 2/3 chiều dài. Tính số đo chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng đó.

    0,450km = 450 m

    Nửa chu vi là:  450 : 2 = 225 (m)

    Tổng số phần bằng nhau:  2+3 = 5 (phần)

    Chiều rộng:  225 : 5 x 2 = 90 (m)

    Chiều dài:    225 – 90 = 135 (m)

    Đáp số:  90 m   ;  135 m

    Bài 64:

             Cho hình thang vuông ABCD có góc A và D vuông. Hạ đường cao BH, đường cao BH cắt đường chéo AC tại I. So sánh diện tích 2 tam giác DIH và BIC

    ABHD là hình chữ nhật nên AD=BH ; AB=DH

    SABD=SABC=SABI+SBIC  (1)

    (2 tam giác ABD và ABC có chung đáy AB, 2 đường cao bằng đường cao hình thang).

    SABD=SABI+SDIH   (2)

    (Tam giác ABD có đáy AD =BI+IH, 3 tam giác này (ABD, ABI, DIH) có đường cao bằng chiều rộng (AB) hình chữ nhật ABHD).

    Từ (1) và (2) suy ra           SBIC = SDIH

    Bài 65:

            Huy có một mảnh giấy hình vuông có chu vi là 80cm. Huy đã gấp hình vuông đó lại và cắt được một hình tròn (to nhất).

        a.Tính chu vi hình tròn mà Huy đã cắt được

        b.Nếu dùng mảnh giấy hình tròn đó để cắt một mảnh giấy hình vuông có cạnh 16cm thì có cắt được không?Vì sao?

    Cạnh hình vuông:   80 : 4 = 20 (cm)

    Chu vi hình tròn:   20 x 3,14 = 62,8 (cm)

    Diện tích hình vuông lớn nhất có thể cắt được:

    (20 : 2) x ( 20 : 2 ) x 2 = 200 (cm2)

    Nên không thể cắt được hình vuông có cạnh là 16cm.

    Vì 16 x 16 = 256 (cm2)


    Bài 65:

    Cho hình tam giác ABC có diện tích là 216m2 ,AB=AC và BC bằng 36 m. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho MB bằng 2/3 AB ,trên AC lấy điểm N sao cho NC bằng 2/3 AC và trên BC lấy điểm I sao cho BI bằng 2/3 BC. Nối M với N với I được hình thang MNIB. Tính : 

    a. Diện tích hình thang MNIB 

    b. Độ dài đoạn MN

    MB=2/3AB => AM=1/2AM=1/3AB
    NC=2/3AC => AN=1/2NC=1/3AC 
    a) 
    SBNA=1/3SABC= 216 : 3 = 72 (m2) 
    Chung đường cao kẻ từ B. 
    Tương tự: 
    SNMB=2/3SNBA= 72 x 2/3 = 48 (m2)
    SBNC=SABC-SBNA= 216 – 72 = 144 (m2)
    SNBI=2/3SNBC= 144 x 2/3 = 96 (m2)
    SMNIB = SMNB+SNIB = 48+96 = 144 (m2) 
    b) 
    Chiều cao kẻ từ N của tam giác NBC 
    144 x 2 : 36 = 8 (m) 
    Cũng là đường cao kẻ từ B của tam giác BMN. 
    Độ dài cạnh MN (trong tam giác BMN). 
    48 x 2 : 8 = 12 (m)


    Bài 66:

    Cho một hình thang có chu vi là 405 cm, tổng hai đáy( AB và và CD ) dài hơn tổng hai cạnh bên (AD và BC) là 15 cm. Cạnh AB bằng 2 phần 5 cạnh CD và cạnh BC  ngắn hơn AD 15 cm. Trên AD lấy điểm M sao cho đoạn thẳng AM bằng 2 phần 3 cạnh AD. Nối M với B  và C. Tính :

    a. Diện tích hình thang ABCD biết chiều cao là 36 cm 

    b. Cạnh AD, BC của hình thang ABCD 

    c. Chiều cao hạ từ  M của hình MBC

    a)

    Tổng 2 đáy AB và CD:   (405+15):2 = 210 (cm)

    Tổng số phần bằng nhau:   2+5 = 7 (phần)

    Cạnh đáy AB:    210 : 7 x 2 = 60 (cm)

    Cạnh đáy DC:   210 – 60 = 150 (cm)

    Diện tích hình thang ABCD:  (60+150) x 36 : 2 = 3780 (cm2)

    b)

    Tổng 2 cạnh AD và BC:  405 – 210 = 195 (cm)

    Cạnh AD:    (195+15):2 = 105 (cm)

    Cạnh BC:    195 – 105 = 90 (cm)

    c)

    AM=2/3AD  =>  DM=1/2MA=1/3AD

    Nối AC và nối BD.

    *.Ta có:  SABC = 2/5SADC

    Tổng số phần bằng nhau :  2 + 5 = 7 (phần)

    SADC = 3780 : 7 x 5 = 2700 (cm2)

    SCDM=1/3SADC = 2700 : 3 = 900 (cm2)

    *.Tương tự:

    SADB = 3780 :7 x 2 = 1080 (cm2)

    SBMA=2/3SADB = 1080 x 2/3 = 720 (cm2)

    Mà:

    SMBC = SABCD – (SMAB+SMCD)

                 = 3780 – (720+900)  = 2160 (cm2)

    Chiều cao hạ từ  M của tam giác MBC

    2160 x 2 : 90 = 48 (cm)


    Bài 67:
            Cho hình thang vuông ABCD, vuông tại A. Có đáy DC gấp 2 lần đáy AB. Kéo dài AD cắt BC tại G. Tính diện tích tam giác GAB. Biết diện tích hình thang ABCD là 48dm2.


    Xét 2 tam giác BDG và CDG có chung cạnh đáy DG, AB = 1/2DC nên SBDG = 1/2SCDG

    Suy ra SBDG = SBDC

    SDAB = 1/2SBDC

    (2 đường cao bằng nhau bằng đường cao hình thang, AB=1/2DC)
    .
    Suy ra  SGAB = SDAB

    Mà SDAB = 48 : (1+2) = 
    16 (dm2)

    Bài 68:
            Cho hình thang ABCD. Đáy lớn CD gấp đôi đáy bé AB. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại G. Biết diện tích tam giác ABG là 34,5cm2. Tính diện tích hình thang ABCD.

    SABC = 1/2SADC (AB=1/2CD, đường cao bằng nhau bằng đường cao hình thang)
    Suy ra đường cao kẻ từ B bằng 1/2 đường cao kẻ từ D xuống AC. Hai đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác ABG và AGD mà hai tam giác này có cạnh đáy chung AG.

    Nên SAGD = SABG x 2 = 34,5 x 2 = 69 (cm2).

    SABD = SABG + SAGD = 34,5 + 69 = 103,5 (cm2)

    Tương tự:

    S
    BDC = SABD x 2 = 103,5 x 2 = 207 (cm2)
    Mà SABCD = SABD + SBDC = 103,5 + 207 = 310,5 (cm2)

    Bài 69:
            Cho hình thang ABCD có diện tích bằng 600cm2

            Biết AM=MQ=QD;BN=NP=PC. Tính diện tích tứ giác MNPQ

     

    Nối BD; BM; PD. Ta có:

    SABD+SCBD= 600 cm2   (1)

    Mà SABM = 1/3SABD   (2)

    (AM=1/3AD, chung đường cao kẻ từ B)

    Tương tự:  SDPC = 1/3SCBD  (3)

    Từ (1), (2), (3) cho ta:

    SABM + SDPC = 600 : 3 = 200 (cm2)

    Suy ra :  SMBPD = 600 – 200 = 400 (cm2)

     

    Nối MP, ta được :

    SMBP + SPMD = 400 (cm2)

    Tương tự như trên, ta có :

    SMBN = 1/2 SMBP

    SPDQ = 1/2 SPDM

    Suy ra :  SPDQ + SMBN = 400 : 2 = 200 (cm2)

     

    Mà SMNPQ = SMBPD – (SPDQ + SMBN) = 400 – 200

    SMNPQ = 200 cm2.


    Bài 70:
            Hình tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại O. Biết diện tích các hình tam giác MNO; NPO; OPQ lần lượt là : 670cm2; 2010cm2; 2070cm2. Diện tích tứ giác MNPQ là : ……….cm2 

    Xét 2 tam giác MON và PON có ON chung nên đường cao của 2 tam giác tỉ lệ với diện tích.
    Tỉ số đường cao kẻ từ P và đường cao kẻ từ M xuống ON là  2010/670 = 201/67

    2 đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác PQN và MQN.

    SPQN = 2070+2010 = 4080 (cm2)

    Suy ra  SMQN = 4080 : 201 x 67 = 1360 (cm2)

    SMNPQ = SPQN + SMQN = 4080 + 1360 = 5440 (cm2)
     

    (ToantieuhocPL)

    Avatar

    Bài 71:

    Cho hình chữ nhật ABCD, trên CD lấy M, nối B với M. Lấy điểm I là trung điểm của đoạn thẳng BM. Nối A với I. Trên đoạn thẳng AI lấy điểm N sao cho AN bằng 2/3 AI. Nối M với N. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD, biết diện tích hình tam giác MNI bằng 15 cm2. 

    AN = 2/3 AI  ==>  NI = 1/3 AI
    SAIM = SMNI x 3 (AI=NI x 3, chung đường cao kẻ từ M).

    SAIM = 15 x 3 = 45 (cm2)

    SABM = SAIM x 2 (BM=IM x 2, chung đường cao kẻ từ A).

    SABM = 45 x 2 = 90 (cm2)

    Xét 3 tam giác ABM ; BMC và AMD. Ta thấy AB = MD+MC (chiều dài hình chữ nhật), 3 tam giác này có 3 đường cao bằng nhau bằng chiều rộng hình chữ nhật nên.

    SABM = SBMC + SAMD = 90 cm2.

    Diện tích hình chữ nhật ABCD

    90 x 2 = 180 (cm2)
     


    Bài 72:

               Cho tam giác ABC. Điểm M là diểm chính giữa cạnh AB. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = 1/2 NC. Hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại K. Tính diện tích tam giác AKC biết diện tích tam giác KAB bằng 42dm2

    Ta có:  SABN = 1/2SBCN


    (AN=1/2NC, chung đường cao kẻ từ B)
    .
    Hai tam giác này lại có chung cạnh BN nên hai đường cao kẻ từ A và từ C xuống BN bằng nhau.

    Hai đường cao này cũng là hai đường cao của hai tam giác ABK và CBK có cạnh đáy chung là BK.

    Nên S
    ABK = 1/2SCBK.                   (1)
    Tương tự ta lại có S
    CBK = SACK   (2)
    Từ (1) và (2) ta được

    S
    ABK = 1/2SACK
    Vậy S
    ACK = SABK x 2 = 42 x 2 = 84 (dm2)

     
    Bài 73:
               Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC và  BD. Gọi E là trung điểm của AC, từ E kẻ đường thẳng song song với BD cắt DC tại F. Nối B với F. Chứng tỏ rằng đoạn BF chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.


     

    Nối BE và DE cắt BF tại K.


    Trong tam giác ABC ta có: SABE = 1/2 SABC  (1)

    (AE = 1/2AC , chung đường cao kẻ từ B)
    .
    Tương tự ta có SADE = 1/2 SADC                      (2)

    Từ (1) và (2) cho ta  SABED = 1/2 SABCD

    Hình thang DBEF cho ta S
    BFE = SDFE
    (chung cạnh đáy FE, hai đường cao bằng nhau bằng chiều cao hình thang)
    .
    Mà 2 tam giác này có phần chung là S
    KFE suy ra  SBKE = SDKF  (3)
    Ta thấy:  S
    ABFD = SABED – SBKE + SDKF
    Theo (3) ta có:  SABFD = SABED

    Hay SABFD = 1/2 SABCD

    Vậy đoạn thẳng BF chia hình tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.

    Bài 74:       

            Cho hình thang vuông ABCD, vuông góc tại A và D, đáy AB=1/3 CD.Kéo dài DA và CB cắt nhau tại E.

        a) So sánh diện tích hai hình tam giác ABC và ADC.

        b)Biết diện tích tam giác ABE bằng 7 xăng-ti-mét vuông. Tìm diện tích hình thang ABCD

    a)

    Xét 2 tam giác ABC và ADC có:  AB = 1/3DC, hai đường cao tươg ứng với 2 cạnh đáy bằng nhau bằng chiều cao hình thang.

    Vậy SABC = 1/3 SADC

    b)

    Nối BD. Tương tự ta có SABD = 1/3 SBDC

    2 tam giác EBD và ECD có chung cạnh đáy AD, 2 đường cao của 2 tam giác này  AB = 1/3DC

    Vậy:  SEBD = 1/3 SECD

    Mặt khác 2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ D xuống EC nên EB = 1/3 EC hay EB = 1/2 BC

    SEBD = 1/2SBDC.

    Phân số chỉ 7cm2 là:  1/2 – 1/3 = 1/6 (SBDC)

    Diện tích tam giác BDC :  7 x 6 = 42 (cm2)

    Diện tích tam giác ABD:  42 : 3 = 14 (cm2)

    Diện tích hình thang ABCD:   42 + 14 = 56 (cm2)


    Bài 75:                

            Cho hình thang ABCD, AB = 1/2 CD. Kéo dài DA cề phía A và CB về phía B cắt tại M.

    a) Tì tỉ số MA/MD và MB/MC

    b) tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích MAB = 9cm2

     


    a)Ta có SABD = 1/2 SACD  = 1/2 SBDC  (1)

    (Vì AB=1/2CD, 2 đường cao tương ứng bằng nhau bằng chiều cao hình thang).

    Mà 2 tam giác này có AD chung. Suy ra đường cao kẻ từ C xuống AD gấp 2 lần đường cao kẻ từ B xuống AD.

    Hai đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác MBD và MCD.

    Hai tam giác này có cạnh đáy MD chung nên SMBD = 1/2SMCD   (2)

    Từ (1) và (2) cho ta SMAB = SABD. Hai tam giác này lại có chung đường cao kẻ từ B. Suy ra MA = AD  hay MA = 1/2MD  =>  MA/MD = 1/2

    Tương tự:  MB/MC = 1/2

    b)SABCD = SABD + SBCD = 9 + 9x2 = 27 (cm2)


    Bài 76:                

            Một sân trường có chu vi bằng 142m. Nếu tăng chiều rộng thêm 15m, đồng thời giảm chiều dài đi 15m thì diện tích của sân trường không thay đổi. Tính diện tích sân trường đó?      

    Để diện tích sân trường không đổi thì 2 hình chữ nhật nhỏ phải có diện tích bằng nhau và có chiều rộng bằng nhau 15m, chiều dài bằng chiều rộng sân trường.
    Cho ta thấy sân trường có chiều dài hơn chiều rộng 15m.

    Nửa chu vi sân trường là:

    142 : 2 = 71 (m)

    Chiều rộng sân trường là:

    (71 – 15) : 2 = 28 (m)

    Chiều dài sân trường là:

    71 – 28 = 43 (m)

    Diện tích sân trường là:

    43 x 28 = 1204 (m2)

    Đáp số:  1204 m2.

    (ToantieuhocPL)

    Avatar

    *Đề thi tuyển vào lớp 6 trường Nguyễn Huy Tưởng-Đông Anh-HN:(Toán-Tiếng Việt)

    Avatar

     

    Đề thi Toán vào lớp 6 trọng điểm (Bac Ninh)

    Avatar

    Bài 77: Trên một hình vuông trang trí một hình hoa bốn cánh là bốn tam giác vuông bằng nhau (hình vẽ).

    Cho biết hiệu số đo hai cạnh góc vuông OB và OI là 7 cm,tổng diện tích phần còn lại của hình vuông (phần gạch chéo) là 140 cm2.Tính diện tích hình hoa?

    Giải

    Ta thấy tổng diện tích các phần gạch chéo gồm 4 tam giác bằng nhau,vậy diện tích 1 tam giác (gạch chéo) là:

    140 : 4= 35 (cm2)

    Vì hiệu số đo hai cạnh góc vuông OB và OI là 7 cm nên IA = 7 cm (vì OA=OB=OC=OD)

    Chiều cao tam giác ABI cũng là chiều cao tam giác ABO hạ từ đỉnh B là:

    35 x 2 : 7 = 10 (cm)

    Vậy OB=10 cm

    =>OC=OD=OA= 10 (cm)

    Diện tích tam giác vuông ABO là:

    10 x 10 : 2 = 50 (cm2)

    Diện tích một cánh hoa là:

    50 - 35 = 15 (cm2)

    Diện tích hình hoa bốn cánh là:

    15 x 4 = 60 (cm2)

    Đ/s: 670 cm2

    Bài 78: Cho hình chữ nhật ABCD và I là điểm chính giữa cạnh AB.Nối D với I,đoạn thẳng DB cắt đoạn thẳng IC tại K(hình vẽ).

    a.Chứng tỏ rằng SDIB=1/2 SDBC.

    b.Kẻ IP vuông góc với DB,kẻ CQ vuông góc với DB.Chứng tỏ rằng S DIC = 3 SDIK.

    c.Biết S DIK = 8 cm2.Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

    Giải

    a.Ta có:

    S ADI = S IDB (2 tam giác chung chiều cao hạ từ D và 2 đáy AI=IB)

    => S IDB = 1/2 ADB

    mà S ADB = S DBc

    => S DIB=1/2 DBC.

    b.Ta thấy,S DBC= S DIB x 2 (chứng minh phần a)

    mà 2 tam giác DIB và BCD chung đáy DB nên 2 chiều cao IP=1/2CQ.

    IP và CQ cũng là chiều cao tương ứng của tam giác DIK và KCD chung đáy DK.

    =>S DIK= 1/2 DKC

    mà S ICD= S DIK+ DKC= DIK x 3.

    Vậy DIC = DIK x 3.

    c.Ta có diện tích DIC là:

     8 x 3 = 24 (cm2)

    Mà DIC=1/2 ABCD,nên S ABCD là:

    24 x 2 = 48 (cm2)

    Đ/s:a.SDIB=1/2 SDBC

    b.DIC = DIK x 3

    c.48 cm2

     

    Bài 79: Cho hình vuông ABCD.Các nửa hình tròn có đường kính là cạnh hình vuông cắt nhau ở E tạo thành bông hoa bốn cánh.

    Cho biết bán kính các nửa hình tròn là 1 cm,hãy tính diện tích bông hoa đó (phần gạch chéo trong hình vẽ) theo những cách khác nhau.

    Giải

    Cách 1:

    Diện tích nửa hình tròn đường kính AB là:

    (1x1x3,140):2=1,57 (cm2)

    Diện tích tam giác ABE bằng 1/4 diện tích hình vuông ABCD và bằng:

    2x2:4= 1 (cm2)

    Diện tích 2 nửa cánh hoa nằm ngoài tam giác ABE và nằm trong nửa hình tròn đường kính AB là:

    1,57-1=0,57 (cm2)

    Vậy diện tích 8 nửa cánh hoa là:

    0,57x4=2,28 (cm2)

    Cách 2:

    Nếu ta cộng diện tích của 4 nửa hình tròn với nhau thì diện tích mỗi cánh hoa sẽ được tính 2 lần.Vậy tổng diện tích của 4 cánh hoa sẽ bằng tổng diện tích của 4 nửa hình tròn trừ đi diện tích hình vuông.

    Ta có diện tích 4 nửa hình tròn là:

    (1x1x3,14):2x4=6,28 (cm2)

    Diện tích của hình vuông ABCD là:

    2x2=4 (cm2)

    Tổng diện tích 4 cánh hoa là:

    6,28-4=2,28 (cm2)

    Cách 3:

    Lấy diện tích hình vuông trừ đi diện tích hình tròn thì sẽ được diện tích 2 phần trắng.Vậy diện tích 2 phần trắng là:

    2x2-1x1x3,14=0,86 (cm2)

    Diện tích của 4 phần trắng là:

    0,86x2=1,72 (cm2)

    Diện tích của bông hoa 4 cánh là;

    2x2-1,72=2,28 (cm2)

    Đ/s: 2,28 cm2

    Bài 80: Cho tam giác ABC có diện tích 40 cm2.Trên cạnh AB lấy điểm M và trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AM gấp 3 lần BM và AN gấp 4 lần CN.

    BN và CM cắt nhau ở P.Hãy tính diện tích tam giác APC?

    Giải

    Gọi diện tích tam giác BMP là x và diện tích tam giác CNP là y.

    Ta có :

    S ANP= n x 4 (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P và đáy AN=NCx4)

    S APB= mx4 (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P và đáy AB=MBx4)

    S APC= nx5 (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P và đáy AC=NCx5)

    S APM= mx3 (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh P và đáy AM=BMx3)

    => S ANB = S ANP+ S APB = nx4 + mx4 = 4/5 ABC=40:5x4=32 (cm2)(2 tam giác ABN và ABC có chung chiều cao hạ từ đỉnh B và đáy AN= 4/5 AC) (1)

    => S ACM= S ACP+S APM= nx5+ mx3=3/4 S ABC=40:4x3=30 (cm2)(2 tam giác ACM và ABC có chung chiều cao hạ từ đỉnh C và đáy AM= 3/4 AB) (2)

    Từ (1) ta có: nx4 + mx4 = (n+m)x4=32 (cm2) hay n+m=32:4=8 (cm2) (3)

    Từ (2) ta có: nx(2+3)+mx3=30 (cm2)

    hay nx2+nx3+mx3= nx2+ (n+m)x3=nx2 + 8x3=nx2+24=30 (cm2)

    =>nx2=30-24=6 (cm2) hay n= 6:2=3 (cm2) 

    Vậy diện tích tam giác APC là:

    3x5=15 (cm2)

    Đ/s: 15 cm2

    Bài 81: Cho hình vuông ABCD có diện tích 128dm2.Lấy 4 điểmM,N,P,Q ở chính giữa 4 cạnh hình vuông làm tâm để vẽ 4 đường tròn bán kính bằng một nửa cạnh hình vuông MNPQ.Tính diện tích phần gạch chéo(hình vẽ dưới).

    Giải

    Ta có S MNPQ=1/2 S ABCD và bằng:

    128:2= 64 (dm2)

    Vì 64 = 8x8 nên cạnh hình vuông MNpQ bằng 8 dm.

    Vậy bán kính của các phần tư hình tròn (1),(2),(3),(4) là:

    8:2=4(dm)

    Tổng diện tích các phần tư hình tròn(1),(2),(3),(4)  này ghép lại thành một hình tròn bán kính 4 dm và có diện tích là:

    4 x 4 x 4 x 3,14 = 50,24 (dm2)

    Vậy diện tích phần gạch chéo là:

    64-50,24=-13,76 (dm2)

    Đ/s: 13,76 dm2

     

    Bài 82. Trên một hồ nước hình chữ nhật,công ty du lịch xây dựng một nhà thủy tạ hình vuông có một cạnh áp vào chiều rộng của hồ nước,cạnh đối diện cách chiều rộng còn lại là 72 m,hai cạnh còn lại của nhà thủy tạ cách đều 2 chiều dài mỗi bên 11m.Vì thế diện tích còn lại là 2336m2.Tính cạnh của nhà thủy tạ?

    Giải

    Ta thấy,phần hồ nước còn lại bao gồm 5 hình chữ nhật A,B,C,D,E như trong hình vẽ.

    Tổng dện tích 2 phần C và D là:

    72x11x2=1584 (m2)

    3 hình chữ nhật A,B,E còn lại có chung một chiều rộng là vcanhj nhà thủy tạ,còn tổng số 3 chiều dài là:

    11+11+72=94 (m)

    Ta coi 3 hình này ghép nối tiếp nhau thành một hình chữ nhật có chiều dài 94m,chiều rộng là cạnh nhà thủy tạ.Vậy hình chữ nhật này có tổng diện tích là:

    2336-1584= 752 (m2)

    Cạnh nhà thủy tạ là:

    752:94= 8 (m)

    Đ/s:8m

    Bài 83. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng.Hỏi diện tích khu vườn đó là bao nhiêu biết rằng nếu tăng chiều dài lên 5m và giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm đi 225m2.

    Giải

    Nhìn hình vẽ ta thấy 225m2 chính là diện tích hình chữ nhật MNPQ.Vậy độ dài PQ là:

    225:5=45 (m)

    Độ dài này chính là hiệu của chiều dài khu vườn lúc đầu và chiều rộng khu vườn lúc sau.

    Vậy hiệu của chiều dài và chiều rộng là:

    45-05=40 (m)

    Vì lúc đầu,chiều dài  gấp 3 lần chiều rộng nên chiều rộng lúc đầu là:

    40:2=20 (m)

    Chiều dài lúc đầu là:

    20x3=60 (m0

    Diện tích khu vườn lúc đầu là:

    60x20=1200 (m2)

    Đ/s: 1200m2

    Bài 84Nhà bác Ba có một thửa ruộng hình thang vuông đáy lớn 60m,đáy bé 30m,cạnh bên (cũng là chiều cao) dài 40m.

    Năm qua,bác Ba đào một mương nước rộng 8m chạy dọc theo đáy lớn.Em hãy tính diện tích phần còn lại của thửa ruộng?

    Giải

    Nhìn vào hình vẽ ta thấy,phần diện tích con mương được đào chính là phần diện tích hình thang vuông HECD,phần đất còn lại chính là hình thang vuông ABEH.

    Ta có S ABCD=(60+30) x 40 : 2 =1800 (m2)

    Độ dài AH là:

    40 - 8= 32 (m)

    S ABE là:

    30 x 32 : 2= 480 (m2)

    Vì HECD là hình thang nên S CED= S DHC= 8 x 60 : 2= 240 (m2)

    Vậy S AED= S ABCD - S ABE- S ECD= 1800 - 480 - 240 = 1080 (m2)

    Vậy EH = S AED x 2 : AD = 1080 x 2 : 40 = 54 (m)

    Vậy S ABEH = (54+30) x 32 : 2= 1344 (m2)

    Đ/s: 1344m2

    Bài 85.  Một vườn hoa hình chữ nhật. Ở chính giữa là một cái đài phun nước có nền hình vuông,có cạnh song song với các cạnh của hình chữ nhật và cách cạnh dài của hình chữ nhật 21,5m,cách cạnh ngắn của hình chữ nhật 26,5m.Diện tích còn lại của vườn hoa là 2759m2.Tính diện tích cả vườn hoa?

    Giải

    Ta giả thiết rằng đài phun nước  được xây ở góc vườn như hình vẽ thì phần còn lại của vườn hoa gồm 3 hinhg chữ nhật (1),(2),(3).

    Hình chữ nhật 91) có chiều dài và chiều rộng tương ứng là: 26,5x2=53 (m);21,5x2= 43(m)

    Diện tích hình (1) là: 53x43= 2279 (m2)

    Tổng diện tích hình (2) và (3) là: 2759-2279 = 480 (m2)

    Nếu ta ghép hình (2) và hình (3) lại với nhau theo chiều rộng thì sẽ được một hình chữ nhật có chiều rộng là cạnh đài phun nước và chiều dài bằng:

    54+43= 96 (m)

    Cạnh đài phun nước là: 480:96= 5(m)

    Diện tích đài phun nước là: 5x5= 25 (m2)

    Diện tích vả vườn hoa là:

    2759+ 25= 2784 (m2)

    Đ/s: 2784m2


    Bài 86. Tam giác ABC có diện tích 4096cm2.

    -Nối các trung điểm M,N,P của các cạnh tam giác ABC ta được tam giác thứ hai.

    -Tương tự,nối các trung điểm của các cạnh tam giác thứ hai ta được tam giác thứ ba....

    -Cứ làm như vậy cho đến tam giác thứ bảy.Tính tổng diện tích của 7 tam giác nói trên.

    Giải

    Ta có S ABM= S ACM (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh A và đáy MB=MC)

    => S ABM = 1/2 S ABC (1)

    Ta có SAMP= S PMB (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ đỉnh M và đáy PA=PB)

    =>S BPM= 1/2 SABM (2)

    Từ (1) và (2) => S BPM = 1/4 S ABC (3)

    Tương tự ta có: S ANP = S NCM = 1/4 S ABC (4)

    Từ (3) và (4) ta có: SANP+ S NCM= S PMB = 3/4 SABC

    => SPNM = 1/3 SABC

    vậy diện tích tam giác thứ hai bằng 1/4 diện tích tam giác thứ nhất.

    -Tương tự như vậy ta có diện tích tam giác thứ ba bằng 1/4 diện tích tam giác thứ hai.

    -vv...

    -Diện tích tam giác thứ bảy bằng 1/4 diện tích tam giác thứ sáu.

    Ta kí hiệu diện tích bảy tam giác lần lượt là S1,S2,...,S7, ta có:

    S1=4096 (cm2)

    S2= 4086:4= 1024 (cm2)

    S3= 1024:4= 256 (cm2)

    S4= 256: 4= 64 (cm2)

    S5= 64:4 = 16 (cm2)

    S6= 16:4 = 4 (cm2)

    S7= 4:4 = 1 (cm2)

    Vậy tổng diện tích của 7 tam giác này là:

    4096+1024+256+64+16+4+1 = 5461 (cm2)

    Đ/s; 5461cm2

    Bài 87. Cho hình vẽ sau:

    Biết ABCD là hình chữ nhật và AB = 4 cm,các đường tròn tâm A và tâm D cùng bán kính r = AB cắt cạnh AD tại G và E.

    a.So sánh diện tích hình (1) và (2) nếu biết diện tích hình chữ nhật bằng nửa diện tích hình tròn tâm A bán kính r.

    b.Tính độ dài đoạn EG.

    Giải

    a.Theo bài, ta có : S1+S2+S3+S4 = S3+S2+S4+S2 = S ABCD

    Hay S1+ (S2+S3+S4) = S2 + (S2+S3+S4)

    => S1 = S2

    b. Diện tích hình chữ nhật ABCD (cũng là diện tích 2 nửa hình tròn bán kính 4 cm) là:

    4 x 4 x 3,14 : 2 = 25,12 (cm2)

    Chiều dài hình chữ nhật  (cạnh AD) là:

    25,12 : 4 = 6,28 (cm)

    Độ dài AE=GD là:

    6,28 - 4 = 2,28 (cm)

    Độ dài EG là:

    4 - 2,28 = 1,72 (cm)

    Đ/s: a. S1= S2

    b.1,72 cm

    Bài 88. Cho hình vẽ sau:

    Biết cạnh hình vuông là 3 cm,tính diện tích phần gạch sọc?

    Giải

    Diện tích hình vuông là: 3 x 3 = 9 (cm2)

    Ta thấy,tổng diện tích của phần gạch sọc và một phần trắng trong hình vẽ có dạng là 1/4 hình tròn bán kính 3cm.Tổng diện tích 2 phần này là:

    3 x 3 x 3,14 : 4 = 7,065 (cm2)

    Diện tích 1 phần trắng trong hình vẽ là:

    9 - 7,065 = 1,935 (cm2)

    Diện tích phần gạch sọc là:

    9 - 1,935 x 2 = 5,13 (cm2)

    Đ/s: 5,13 cm2

    Avatar

    Bài 89.  Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh bằng nhau (tam giác đều).

    a.Chứng minh ba chiều cao của tam giác đó bằng nhau.

    b.Gọi M là điểm bất kì ở bên trong tam giác.Chứng minh tổng ba chiều cao hạ từ M của ba tam giác MAB,MBC,MCA bằng chiều cao của tam giác ABC.

    Giải

    a.Gọi 3 chiều cao tương ứng hạ từ 3 đỉnh A,B,C của tam giác ABC lần lượt là h1,h2,h3.

    Ta có S ABC= (h1xBC):2=(h2 x AC):2=(h3 x AB):3

    =>h1= (S ABC x 2):BC

    h2= (S ABC x 2):AC

    h3= (S ABC x 2):AB

    mà BC=AC=AB

    =>h1=h2=h3.

    b.Gọi a là cạnh của tam giác ABC và h là chiều cao của tam giác.

    Ta có: S ABC = S MAB + S MBC + S MCA = (axML):2+(axMH):2+ (axMK):2=(a:2)x(ML+MH+MK) (1)

    Mặt khác : S ABC = a:2xh (2)

    Từ (1) và (2) ta có: h=ML+MH=MK.

    Bài 90.  Chứng minh rằng hai đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau ở điểm chính giữa của mỗi đường.

    Giải

    Giả sử AC cắt BD ở O,ta có:

    S ABD= S BCD = 1/2 S ABCD (2 tam giác có chung đáy BD,chiều cao AH=CK)

    Mặt khác ta có: S ACD= S BCD = 1/2S ABCD

    =>S AOD= S BOC (2 tam giác cùng bớt phần diện tích chung là tam giác ODC)

    Vì 2 tam giác trên có chiều cao AH=CK nên đáy OB=OD.

    =>O là điểm chính giữa của đường chéo BD.

    Tương tự ta có O là điểm chính giữa của đường chéo AC.

    =>Hai đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau ở điểm chính giữa của mỗi đường.

    Avatar

    Bài 91.  Cho một tam giác có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của một hình vuông và không trùng với các đỉnh của hình vuông.Chứng minh rằng diện tích tam giác bé hơn nửa diện tích hình vuông.

    (Đề thi học sinh giỏi HN năm 1996-1997)

    Giải

    Giả sử tam giác MNP có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh của hình vuông ABCD như hình vẽ trên.

    Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD ở Q.

    Ta thấy AMQD và BCQM cũng là các hình chữ nhật.

    Ta có: S MPQ < S MNQP+ S MPQ (1)

    Mà S MNQ = 1/2 S BCQM (Đáy MQ của tam giác là chiều dài hình chữ nhật,chiều cao tam giác bằng chiều rộng CQ của hình chữ nhật)

    Tương tự: S MPQ=1/2 S AMQD

    Vậy S MNP+ S MPQ=1/2 S BCQM+ 1/2S AMQD=1/2 (S BCQM+ S ABCD) =1/2 S ABCD (2)

    Từ (1) và (2) ta có: SMNP < 1/2 S ABCD.

    Bài 92.Tính tổng chu vi và tổng diện tích của tất cả các hình vuông có trong hình vẽ sau:

    Giải

    *Tình tổng chu vi các hình vuông có trong hình trên:

    Hình bên gồm:

    -16 hình vuông cạnh 1cm

    -9 hình vuông cạnh 2 cm

    -4 hình vuông có cạnh 3 cm

    -1 hình vuông có cạnh 4 cm

    Vậy tổng chu vi tất cả các hình vuông có trong hình trên là:

    1x4x16+ 2x4x9+ 3x4x4+ 4x4=200 (cm)

    *Tính tổng diện tích tất cả các hình vuông có trong hình trên:

    Diện tích 1 ô vuông nhỏ là: 1x1=1 (cm2)

    Hình trên gồm:

    --16 hình vuông mà mỗi hình là 1 ô vuông nhỏ có diện tích là: 1x1= 1 (cm2)

    Tổng diện tích 16 hình vuông này là: 1 x 16=16 (cm2)

    -9 hình vuông gồm 4 ô vuông nhỏ ghép lại có diện tích: 1x4= 4 (cm2)

    Tổng diện tích của 9 hình vuông này là: 4 x 9= 36 (cm2)

    -4 hình vuông gồm 9 ô vuông nhỏ ghép lại có diện tích: 1 x 9 = 9 (cm2)

    Tổng diện tích của 4 hình vuông này là: 9x4=36 (cm2)

    -1 hình vuông gồm cả 16 ô vuông nhỏ ghép lại có diện tích: 1 x 16=16 (cm2)

    Vậy tổng diện tích của tất cả các hình vuông có trong hình trên là:

    16+36+36+16=104 (cm2)

    Đ/s: 200 cm;104 cm2

    Bài 93.  Cho hình chữ nhật ABCD bị che khuất một phần bởi hình chữ nhật BMNP bằng nó như hình vẽ.

    a.Hãy so sánh diện tích phần bị che với phần không bị che của hình chữ nhật ABCD?

    b.Tính diện tích của phần giới hạn bởi đượng gấp khúc khép kín  ABPNEDA biết rằng AB= MD x 2 =Nc x 2 = 8 cm,diện tích hình tam giác AMB bằng 24 cm2 và diện tích hình tam giác ENC bằng 6 cm2.

    (Đề thi hs giỏi toàn quốc năm học 1990-1991)

    Giải

    a.Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AD cắt BC ở G.

    Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với cD cắt MG ở H.

    Vì các tứ giác ABGM và MHED đều là hình chữ nhật nên các đường chéo MB=ME chia chúng làm hai nửa có diện tích bằng nhau mà ta kí hiệu là a và b như trong hình vẽ.

    b.Diện tích phần bị che là:

    a + b + S ECGH

    Phần diện tích không bị che là: a+b

    Vậy phần diện tích bị che lớn hơn phần diện tích không bị che và lớn hơn phần diện tích là ECGH.

    b.Ta có: MD=NC=AB/2=8/2=4 (cm)

    Vậy AM= S ABGM/AB=24x2:8=6 (cm)

    Nên AD=AM+MD=6+4=10 (cm)

    =.S ABCD=S MNPB = 10x8=80 (cm2)

    Lại có:AD=NP mà MD=CN nên AM=PC.

    nên S ABM= S PBC= a = 24 (cm)

    => S ABCEM= S MBPCE

    mà S ABCd= S MBPN

    nên S ABCD- S ABCEM= S MBPN- S MBPCE

    hay b= S ENC= 6 (cm2)

    => S ABPNEDA là:

    S AMB+ S MBPN + SMDE= 24 + 80 + 6= 110 (cm2)

    Đ/s: 110 cm2

     
    Gửi ý kiến